证明欧几里得最大公约数算法

描述

如果p和q的最大公约数是r，那么q和p%q的最大公约数也是r。

证明

讨论范围p q r都是自然数
必然存在p = mq + n （m n为自然数），其中n = p % q。
等式两边除以r得 p/r = (mq + n)/r
即 p/r = m * q/r + n/r
∵ r是p和q的最大公约数
∴ p/r是自然数，q/r是自然数。
∴ n/r = p/r - m * q/r , n/r也是自然数。
∴ r是q和n的公约数。
设R是q和n的最大公约数。那么R>=r。
由p = mq + n得 m * q/R + n/R = p/R
∵ q/R 和 n/R 为自然数
∴ p/R 为自然数
∴ R为p和q的公约数
∵ r是p和q的最大公约数
∴ R<= r
又 R>=r
∴ R=r 即 r是q和n的最大公约数
因此如果p和q的最大公约数是r，那么q和p%q的最大公约数也是r。

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