李群（Lie Group）

1. 问题由来

之前读过一篇名为 TorusE: Knowledge Graph Embedding on a Lie Group 的论文，这是一篇关于知识图谱 Embedding 的文章，是我之前的研究方向。当时看它还挺复杂的，我甚至没看懂，主要原因是大学及研究生学的那点数学确实不太够用。虽然现在不做知识图谱了，但最近学习数学的时候，碰到了拓扑空间以及流形空间的概念，无意中还看到了李群的身影，于是回想起之前看到过的这篇论文。君子以不知为耻，既然李群这么流行，那我就学习学习吧，强迫症的我忍不住回去找到了这篇论文，准备吃透它。

2. 什么都不懂，Group、Manifold 是什么？

连基本概念都不懂，如何前进？于是查阅 Wikipedia，这么说：

A real Lie group is a group that is also a finite-dimensional real smooth manifold, in which the group operations of multiplication and inversion are smooth maps. Smoothness of the group multiplication $\mu:G \times G \to G \quad \mu(x, y) = xy$ means that $\mu$ is a smooth mapping of the product manifold $\times G$ into $G$ . The two requirements can be combined to the single requirement that the mapping $\mapsto x^{-1}y$ be a smooth mapping of the product manifold into $G$ .

看不懂，因为不知道什么叫 group，什么叫 manifold！随后的两个公式自然就更不懂了。那继续查吧，先查一查 group 是啥：

A group is a non-empty set $G$ together with a binary operation on $G$ , here denoted “ $\cdot$ ”, that combines any two elements $a$ and $b$ of $G$ to form an element of $G$ , denoted $\cdot b$ , such that the following three requirements, known as group axioms, are satisfied:

Associativity
For all $a$ , $b$ , $c$ in $G$ , one has $\cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ .

Identity element
There exists an element $e$ in $G$ such that, for every $a$ in $G$ , one has $\cdot a = a$ and $\cdot e = a$ . Such an element is unique (see below). It is called the identity element of the group.

Inverse element
For each $a$ in $G$ , there exists an element $b$ in $G$ such that $\cdot b = e$ and $\cdot a = e$ , where $e$ is the identity element. For each $a$ , the element $b$ is unique (see below); it is called the inverse of $a$ and is commonly denoted $a^{-1}$ .

到了中文维基百科就变成了四个要求

群 $\cdot)$ 是由集合 $G$ 和二元运算 $\cdot$ 构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素 $a$ 和 $b$ 而形成另一个元素，记为 $\cdot b$ ，符号 $\cdot$ 是具体的运算，比如整数加法。
群公理所述的四个性质为：

封闭性
对于所有 $G$ 中 $a, b$ ，运算 $\cdot b$ 的结果也在 $G$ 中。

结合律
对于所有 $G$ 中 $a, b$ 和 $c$ ，运算 $\cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 成立。

单位
存在 $G$ 中的一个元素 $e$ ，使得对于所有 $G$ 中的元素 $a$ ，总有等式 $\cdot a = a \cdot e = a$ 成立。

逆元
对于每个 $G$ 中的 $a$ ，存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 使得总有 $\cdot b = b \cdot a = e$ ，则称 $b$ 为 $a$ 在 $G$ 中的逆元，此处 $e$ 为单位元。

英文版的 “to form an element of $G$ ” 暗含了中文版的 “封闭性” 吧。

这看起来很抽象，大概意思就是：有一个集合，集合中的元素之间可进行二元运算，且这个二元运算满足封闭性、结合律、单位和逆元等四个性质。还是要看 example：

For example, consider the set of real numbers $\mathbb{R}$ , which has the operations of addition $a + b$ and multiplication $ab$ . Formally, $\mathbb{R}$ is a set, $(\mathbb{R} ,+)$ is a group, and $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ is a field. But it is common to write $\mathbb{R}$ to denote any of these three objects.

例子就是实数集带上加法运算 $(\mathbb{R} ,+)$ 是一个群，验证可知它满足四个群公理性质。这下明白什么是群了，这个定义把平时见到的加法运算以及乘法运算 $\ 0 , ⋅ ) (\mathbb{R} \backslash{0}, \cdot)$ 进行了推广泛化。【至于 $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ is a field，后面会讲到】

中文版的有一段话：“群运算的次序很重要，把元素 $a$ 与元素 $b$ 结合，所得到的结果不一定与把元素 $b$ 与元素 $a$ 结合相同；亦即， $\cdot b = b \cdot a$ （交换律）不一定恒成立。满足交换律的群称为交换群（阿贝尔群，以尼尔斯 · 阿贝尔命名），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。” 这里的 “阿贝尔群” 四个字，让我突然想起一个老教授在讲台上富有激情地讲述着什么，什么“幺元”、“逆元”、“阿贝尔群” … 原来我学过这东西，课程的名字叫离散数学，已经忘记是大二还是大三学的了，内容更是只记得有公理系统。

3. 离散数学中的群和环

【注】：这一部分大多是不需要看的，因为前面我们已经知道了群是什么东西。但要理解论文中给出的 torus 李群，这部分中的商群是需要了解一下的，不了解也没有关系，仔细看看也能理解。所以，这一部分都不是必须的，不过这能从集合论的角度将群的概念系统化，而不是简单了解一个概念就了事。

回去翻看，第 11 章：群和环，整整一章，比较系统地介绍了群和环，但里面没有讲述李群，这也是为什么我在论文中看到它时竟毫无感觉。“群和环属于抽象代数的范畴，被研究的对象和其上的运算称为一个代数系统，群是最基本、最重要的代数系统。” 翻看课本时，似乎一切都想起来了，下面就摘抄一部分基本概念，以建立起学习李群的基础。

3.1 代数运算

定义 1：设 $A, B, D$ 是三个任意的非空集合。若 $*$ 是 $\times B$ 到 $D$ 的一个映射，即 $\times B \to D$ 则称 $*$ 是 $\times B$ 到 $D$ 的一个代数运算。

虽然这很基础，对理解什么是群也没有什么必要性，但我觉得理解它对于建立数学感还是有用的。代数系统是基于三个集合的，且这三个集合不必是同类。在普通代数里，我们计算的对象是数，有自然数、整数、有理数、实数和复数等，计算的方法是加、减、乘、除和乘方。随着接触的数学越来越多，会发现计算对象不必是数，可以是其他数学对象，包括向量、矩阵，甚至是函数。

这里说的 “这三个集合不必是同类”，是我自己的理解，书中并没有。我是从书中对计算对象的介绍感觉到的，不一定对。我举个例以表达这个想法：令集合 $\mathbb{N}, B = \{奇, 偶\}, D = \{True, False\}$ ，映射 $\times B \to D$ 被定义为 $\left\{\begin{matrix} True & (a \% 2 == 1 \ and \ b = 奇)\ or\ (a \% 2 == 0 \ and \ b = 偶) \\ False & 其他 \end{matrix}\right.$ 这是一个判定整数是奇数还是偶数的代数运算。我们可以看到， $A$ 是数集， $B$ 是一个有两个非数元素的集合， $D$ 是布尔值集合。

定义 2：设 $A, B$ 是两个任意的非空集合。若 $*$ 是 $\times A$ 到 $B$ 的一个运算，即 $\times A \to B$ 则称 $*$ 是集合 $A$ 上的一个代数运算或二元运算。

这个定义把定义 1 中的 $A, B$ 规定为同一个集合，从而称 $*$ 是 $A$ 上的一个代数运算。离群又进了一步，只是这里没有规定映射 $*$ 的像集 $B$ 是什么。如果再规定 $B = A$ ，就说 $*$ 是集合 $A$ 上的闭运算，也说集合 $A$ 对运算 $*$ 封闭。

定义 3：设 $A$ 是一个非空集合。 $*$ 是 $A$ 上的一个代数运算。若对于 $A$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$ ，都有 $a * b = b * a$ 则称 $*$ 满足交换律。

定义 4：设 $A$ 是一个非空集合。 $*$ 是 $A$ 上的一个代数运算。若对于 $A$ 中的任意三个元素 $a, b$ 和 $c$ ，都有 $(a * b) * c = a * (b * c)$ 则称 $*$ 满足结合律。

这两个概念我们都很熟了，这里列出来，只是为了说明代数系统中的二元运算有这两个概念，方便后面的叙述。

3.2 代数系统 $\to$ 半群 $\to$ 群

定义 5：设 $A$ 是一个非空集合。 $*$ 是 $A$ 上的一个代数运算。若将集合 $A$ 以及 $A$ 上的代数运算 $*$ 放在一起，记为 $(A, *)$ 则称之为一个代数系统。

一般地，设 $*_1, *_2, \dots, *_n$ 是 $A$ 上的 $n$ 个代数运算。将它们放在一起，记为 $*_1, *_2, \dots, *_n)$ 则也称之为一个代数系统。主要讨论一个二元运算。

定义 6：设 $(A, *)$ 是一个代数系统。若
（1） $*$ 具有封闭性，即 $*$ 是 $A$ 上的封闭运算；
（2） $*$ 具有结合律.
则称 $(A, *)$ 是一个半群。

定义 7：设 $(A, *)$ 是一个代数系统，
（1）若存在 $e_{_{右}} \in A$ ，对于任意的 $\in A$ ，有 $a * e_{_{右}} = a$ ，则称 $e_{_{右}}$ 是右幺元；
（2）若存在 $e_{_{左}} \in A$ ，对于任意的 $\in A$ ，有 $e_{_{左}} * a = a$ ，则称 $e_{_{左}}$ 是左幺元；
（3）若存在一个元素 $\in A$ ，它既是左幺元，又是右幺元，则称 $e$ 是幺元（又称单位元）。
定理：设 $(A, *)$ 是一个代数系统，若它既有左幺元，又有右幺元，则左幺元等于右幺元。若有幺元，则幺元唯一。

定义 8：称含有幺元的半群为含幺半群。

至此，离群的概念就只剩一个逆元了。

定义 9：设 $(A, *)$ 是一个代数系统， $\in A$ 是幺元， $\in A$ ，
（1）若存在 $\in A$ ，使得 $a * b = e$ ，则称 $b$ 是 $a$ 的右逆元；
（2）若存在 $\in A$ ，使得 $d * a = e$ ，则称 $d$ 是 $a$ 的左逆元；
（3）若存在 $\in A$ ，使得 $a^{'}$ 既是 $a$ 的左逆元，又是 $a$ 的右逆元，则称 $a^{'}$ 是 $a$ 的逆元。记为 $a^{-1}$
定理：设 $(A, *)$ 是一个代数系统， $\in A$ 是幺元， $\in A$ 是任意的元素，则
（1）若 $a$ 既有左逆元，又有右逆元，则 $a$ 的左逆元等于右逆元，即为 $a$ 的逆元；
（2） $a$ 的逆元若存在，则唯一。

把上面所有的定义都串起来，就组成了 群的定义：设 $(A, *)$ 是一个代数系统，若其满足以下四条性质：
（1） $*$ 是 $A$ 上的闭运算；
（2） $*$ 适合结合律；
（3）存在幺元 $\in A$ ；
（4）对于 $A$ 中的任意元素 $a$ ，存在逆元 $a^{-1} \in A$ ，使得 $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ 。
则称 $(A, *)$ 是一个群。

这是一个自上而下的过程，从代数系统逐渐增加条件。 $\xrightarrow[]{结合律} 半群 \xrightarrow[]{幺元} 含幺半群 \xrightarrow[]{逆元} 群$

半群幺元

含幺半群逆元

群当然，如果仅仅看这些定义，那也没啥意思，也弄不明白这抽象的东西。就以 examples 顺一下这些概念吧。

例 1. 整数集 $\mathbb{Z}$ 和其上减法运算 $-$ 组成代数系统 $(\mathbb{Z}, -)$ ，其中减法运算表现为映射 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 如 $\mapsto -1$ 就是我们常见的 $1 - 2 = - 1$ 。 $(\mathbb{Z}, -)$ 只能称为代数系统不能称为半群，是因为 $-$ 不满足结合律： $\ne 1 - (2 - 3) = 2$ .
例 2. 正整数集 $\mathbb{Z}^+$ 和其上加法运算 $+$ 组成代数系统 $(\mathbb{Z}^{+}, +)$ ，其中加法运算表现为映射 $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ 如 $\mapsto 3$ 就是我们常见的 $1 + 2 = 3$ 。 $+$ 满足结合律， $(\mathbb{Z}^+, +)$ 是半群。但没有幺元，就称不上含幺半群了。其实 $+$ 运算下， $0$ 是幺元，只可惜这里的集合是 $\mathbb{Z}^+$ .

例 3. 把例 2 的正整数集 $\mathbb{Z}^+$ 换成自然数集 $\mathbb{N}$ 变成代数系统 $(\mathbb{N}, +)$ ，运算和 $(\mathbb{Z}^+, +)$ 都一样，只不过是多了个幺元 $0$ ，故 $(\mathbb{N}, +)$ 是含幺半群。然而对于集合 $\mathbb{N}$ 中的任意元素都没有对应的逆元，所以它不是群。

例 4. 把例 3 的自然数集 $\mathbb{N}$ 换成整数集 $\mathbb{Z}$ 变成代数系统 $(\mathbb{Z}, +)$ ，运算和 $(\mathbb{N}, +)$ 都一样。对于集合 $\mathbb{Z}$ 中的任意元素 $a$ ，都有对应的逆元 $a^{-1} = -a$ 。如此一来，代数系统 $(\mathbb{Z}, +)$ 满足群的所有公理，它是一个群。

懂了什么是群后，就可以认识一种特殊的群，定义 10：设 $(A, *)$ 是一个群，对于 $A$ 中的任意两个元素 $a, b$ ，若有 $a * b = b * a$ ，则称 $(A, *)$ 是交换群，又称阿贝尔群。 $(\mathbb{Z}, +)$ 就是一个典型的阿贝尔群。

3.3 子群、商群

论文选取的一个李群是 torus，给出的定义是

一个 $n$ 维 torus $T^n$ 是一个商空间 (quotient space)，既然这里提到了 “商”，继续翻看课本，恰好发现后面有讲述相关内容：商群，它更加抽象，比一般的群要再抽象一层。所以，在讲述商群之前，先介绍一下商集的概念，这有助于理解商群是啥玩意儿。

3.3.1 等价关系、商集

这得回到课本的第 7 章：关系。

我们知道，给定两个集合 $A, B$ ，它们的笛卡尔积为 $\times B = \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$ 其元素为有序二元组，这大家都熟悉，就不多说了。对于二元关系，也是比较熟悉了，之前做知识图谱时经常跟关系打交道，如三元组 $< 小明, 朋友, 小亮 >$ 表示小明和小亮之间存在着朋友的关系。可以把关系当作集合之间的映射吧，但从来没有想过关系竟然可以当作笛卡尔积的子集。

定义 11：设 $A, B$ 是两个集合， $R$ 是 $\times B$ 的一个子集，即 $\subset A \times B$ 则称 $R$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个二元关系。

若 $\varnothing$ ，称 $R$ 为空关系。
若 $\times B$ ，称为全关系。
当 $A = B$ 时，称二元关系 $\subset A \times A$ 为 $A$ 上的二元关系。

设 $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个二元关系，若 $\in R$ ，则记为 $x R y$ ，并称元素 $x$ 与 $y$ 具有关系 $R$ ；若 $\notin R$ ，则称元素 $x$ 与 $y$ 没有关系 $R$ 。

以上这些都是我们熟悉的内容，只不过这里用集合论的语言把它们又叙述了一遍，显得更为规整。甚至，像逆关系、复合关系，还有关系自身的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），都可以用这种集合式语言规整地表述。如果你对这种集合式表述没兴趣，也可以不看，这都是熟悉的内容。

定义 12：设 $A$ 和 $B$ 是两个集合， $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个二元关系，即 $\subset A \times B$ 。令 $R^{-1} = \{(y, x) | (x, y) \in R\}$ 则 $R^{-1} \subset B \times A$ 是从 $B$ 到 $A$ 的一个二元关系，称之为 $R$ 的逆关系。

定义 13：设 $A, B, C$ 是三个任意集合， $R_1$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个二元关系， $R_2$ 是从 $B$ 到 $C$ 的一个二元关系。记 $R_1 \circ R_2 = \{(x, z) \in A \times C ~ | ~存在~ y \in B ~使得~ xR_1 y ~且~ yR_2z \}$ 则 $R_1 \circ R_2 \subset A \times C$ 是一个从 $A$ 到 $C$ 的二元关系，称之为 $R_1$ 与 $R_2$ 的复合关系。

定义 14：设 $R$ 是集合 $A$ 上的一个二元关系
（1）关系 $R$ 称为自反的，如果 $\Delta(A) \subset R$ ，其中 $\Delta(A) = \{(x, x) | x \in A\}$ 为恒同关系，即对于任何 $\in A$ ，有 $x R x$ ；
（2）关系 $R$ 称为对称的，如果 $R = R^{-1}$ ，即对于任何 $\in A$ ，如果 $x R y$ ，则 $y R x$ ；
（3）关系 $R$ 称为反对称的，如果 $\cap R^{-1} = \varnothing$ ，即对于任何 $\in A$ ， $x R y$ 和 $y R x$ 不能同时成立；【一说 $\cap R^{-1} \subset \Delta(A)$ 】
（4）关系 $R$ 称为传递的，如果 $\circ R \subset R$ ，即对于任何 $\in A$ ，若 $x R y$ 且 $y R z$ ，则有 $x R z$ .

定义 15：设 $A$ 是一个非空集合， $R$ 是 $A$ 上的一个二元关系，若 $R$ 满足自反性、对称性、传递性，则称 $R$ 是 $A$ 上的等价关系。

这在常识上很好理解，自反性：一个元素肯定是和自己等价的；对称性： $a$ 等价于 $b$ ，必然也有 $b$ 等价于 $a$ ；传递性： $a$ 等价于 $b$ ， $b$ 等价于 $c$ ，必然有 $a$ 等价于 $c$ 。

定义 16：若 $R$ 是 $A$ 上的等价关系， $a$ 是 $A$ 中任意一个元素，称集合 $\{x | x \in A, (x, a) \in R \}$ 为集合 $A$ 关于关系 $R$ 的一个等价类，记为 $a]_R$ ，即 $[a]_R = \{x | x \in A, (x, a) \in R \}$ 其中 $a$ 叫代表元。

例：设 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ ，显然 $R$ 是 $A$ 上一个等价关系。 $\begin{aligned} [1]_R &= \{1, 2\} \\ [2]_R &= \{1, 2\} \\ [3]_R &= \{3\} \end{aligned}$ 由此可以看出，等价类将等价的元素聚集到一个集合里，即 $R$ 是一个分类原则。如 $1$ 和 $2$ 被聚集到 $1]_R = [2]_R = \{1, 2\}$ 中。

定义 17：设 $A$ 是一个非空集合， $R$ 是 $A$ 上的一个等价关系，称集合 $\{[x]_R | x \in A\}$ 为集合 $A$ 相对于等价关系 $R$ 的商集合，记为 $A / R$ ，即 $\{[x]_R | x \in A\}$ 在例 1 中，由定义知， $A / R = \{[1]_R, [2]_R, [3]_R\} = \{\{1, 2\}, \{3\}\}$ . 可知，商集 $A / R$ 是集合 $A$ 的一个划分。

3.3.2 子群及其陪集 $\to$ 正规子群 $\to$ 商群

有了上一小节对等价关系和商集的理解，我们可以回归对群的介绍。

定义 18：设 $(G, *)$ 是一个群， $\varnothing \neq A \subset G$ ，若 $(A, *)$ 也是一个群，则称 $(A, *)$ 是 $(G, *)$ 的子群。有时，也可简单地说 $A$ 是 $G$ 的子群。

这很好理解， $(\mathbb{Z}, +)$ 是 $(\mathbb{R}, +)$ 的子群。甚至你设定一个群 ${0\}, +)$ ，它只含幺元 $0$ ，是 $(\mathbb{Z}, +)$ 的子群，也是 $(\mathbb{R}, +)$ 的子群。

下面根据子群的概念建立 $G$ 上的一个等价关系：设 $(G, *)$ 是一个群， $(H, *)$ 是它的一个子群。在 $G$ 上定义一个二元关系 $\sim$ 如下：对于任意 $\in G$ ， $\sim b ~ 当且仅当 ~ a * b^{-1} \in H$ 哎！是不是和论文中写的一样了。下面我们将 Definition 2 和这个等价关系对应起来。先抓住 $\begin{aligned} \bm{y} - \bm{x} &\in \mathbb{Z}^n \\ a * b^{-1} &\in H \end{aligned}$ 若将 $\bm{y} - \bm{x}$ 改写为 $\bm{y} + (-\bm{x})$ ，则 $\bm{y}$ 对应 $a$ ， $-\bm{x}$ 对应 $b^{-1}$ ， $+$ 对应 $*$ ， $\mathbb{Z}^n$ 对应 $H$ 。这样，我们也仅仅是作了一个对应，好像还不能明白什么。

先看看 $\sim$ 到底是不是等价关系吧。
（1）对于任意的 $\in G$ ，因为 $a^{-1} = e \in H$ ，所以 $\sim a$ ，故 $\sim$ 是自反的。
（2）对于任意的 $\in G$ ，若 $\sim b$ ，则 $b^{-1} \in H$ ，又 $(H, *)$ 是子群，所以 $b^{-1})^{-1} = b * a^{-1} \in H$ ，所以 $\sim a$ ，故 $\sim$ 是对称的。
（3）对于任意的 $\in G$ ，若 $\sim b, b \sim c$ ，则 $b^{-1} \in H$ 且 $c^{-1} \in H$ ，所以 $b^{-1}) * (b * c^{-1}) = a * c^{-1} \in H$ ，所以 $\sim c$ ，故 $\sim$ 是传递的。
$\sim$ 满足自反性、对称性和传递性，故它是一个等价关系。

我们再来看令 $H$ 去乘 $\in G$ 会发生什么。 $\{h * a ~|~ h \in H\}$ ，假设 $\sim a$ ，则有 $a^{-1} \in H$ ，一定有某个 $h = b * a^{-1}$ ，此时 $h * a = (b * a^{-1}) * a = b$ ，哎！ $h * a$ 是某个与 $a$ 等价的元素哎。是不是 $G$ 中所有与 $a$ 等价的元素都在 $H * a$ 中呢？答案是肯定的，上面说的过程就已经说明了。是不是所有的 $h * a$ 都与 $a$ 等价呢？答案也是肯定的， $a^{-1}) = (h * a) * a^{-1} \in H$ ，故 $h * a$ 都与 $a$ 等价。

如此以来， $H * a$ 是所有与 $a$ 等价的元素的集合，即 $[a]_{\sim} = H * a$ ，称之为子群 $H$ 的右陪集。

同理，也可以定义左陪集 $[a]_{\sim} = a * H$ ，只不过这里的 $\sim$ 定义为： $\sim b ~ 当且仅当 ~ b^{-1} * a \in H$ 当然，由于 $*$ 不一定满足交换律，所以这两个等价关系是不一定一样的，从而左右陪集也是不一定一样的。

那么，如果对于任意一个 $\in G$ ，都有 $H * a = a * H$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群。可知，阿贝尔群的任何一个非空子集都是正规子群。

定义 19：若等价关系 $\sim$ 由正规子群 $H$ 定义，记 $G$ 在 $\sim$ 下的商集 $G/\sim = \{[a]_{\sim} = a * H = H * a ~|~ a \in G\}$ 也记为 $G / H$ ，这是因为确定了正规子群 $H$ ，也就确定了等价关系 $\sim$ ，称 $G / H$ 为 $G$ 在正规子群 $H$ 下的商群。【注意这里还没给出具体的二元运算】

说了那么多废话，终于到解答的时候了。
从 Definiton 2 中，可以看到 $\begin{aligned} \mathbb{R}^n / \sim &= \{[\bm{x}] ~|~ \bm{x} \in \mathbb{R}^n\} \\ &= \{\{\bm{y} \in \mathbb{R}^n ~|~ \bm{y} \sim \bm{x}\} ~|~ \bm{x} \in \mathbb{R}^n\} \end{aligned}$ 再看 $\bm{y} \sim \bm{x} \Leftrightarrow \bm{y} - \bm{x} \in \mathbb{Z}^n$ 上面已经分析过，此处基本基本运算是 $+$ ，即 $\bm{y} - \bm{x} = \bm{y} + \bm{x}^{-1} \in \mathbb{Z}^n$ ，哎！这不就确定子群是 $(\mathbb{Z}^n, +)$ 了吗！那 $(\mathbb{R}^n, +)$ 自然是 “全群”，故 torus $T^n$ 是一个商群 $\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ 。

既然商群 $\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ 是群，它应该有二元运算，来看一个定理
定理：设 $G$ 是一个群， $H$ 是 $G$ 的正规子群， $\{gH ~|~ g \in G\}$ ，对于任意的 $g_1H,~ g_2H \in G/H$ ，有 $(g_1H) \odot (g_2H) = (g_1g_2)H$ 则 $\odot)$ 是一个群。

也就是说，对于 $G / H$ ，运算 $(g_1H) \odot (g_2H) = (g_1g_2)H$ 满足群运算的要求，至于还有没有其他运算满足群运算，暂不考虑。因为对于 torus 来说，加法 $+$ 本身已经满足 $(g_1H) \odot (g_2H) = (g_1g_2)H$ 。对于 $\forall \bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{R}^n$ ，有 $(\bm{x} + \mathbb{Z}^n) + (\bm{y} + \mathbb{Z}^n) = (\bm{x} + \bm{y}) + (\mathbb{Z}^n + \mathbb{Z}^n) = (\bm{x} + \bm{y}) + \mathbb{Z}^n$ 其实对于一个群 $(G, *)$ 来说， $G * G = G$ 是成立的，那么对于阿贝尔群来说， $g_1 * H) * (g_2 * H) = (g_1 * g_2) * H$ 是恒成立的，也即 $*$ 本身就是一个商群运算。而对于非阿贝尔群来说，暂不研究了！

至此，群论的部分就结束了。我们从代数系统出发，经由半群含幺半群一步步认识了什么叫群，进而回马探查集合上的关系，由等价关系知道了商集的存在，再结合等价关系、商集、子群和群，知道了什么是商群。虽然此时已经足以明白 Ddfinition 2 中的 torus Lie Group，但我不想停下探究的步伐：为什么 Lie Group 需要是 manifold？什么是 manifold？本质上说，我们还没有真正认识 Lie Group。另外，torus 翻译为环面，论文中的示意图也显示 $\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ 是个环面，但它怎么就是环面了？它的元素不就是一些 “小数部分相同的实数聚集成的等价类” 吗？要探究的还有很多。

4. Manifold（流形）

这一章本来简单介绍一下什么是 manifold 就可以了，至于其他的什么切向量、切空间啊，本无需探究，但不看看又觉得缺点什么？博客 Manifolds: A Gentle Introduction 介绍了流形、切空间、黎曼流形的概念，流形的概念好理解，但切空间和黎曼流形比较难理解。我把这篇博客翻译成了中文，并加上了自己的注释，想了解多一点的话，可以去看看。这里只截一些图(from《流行学习及其应用》)，并略微加一点注释。

那就暂且将流形理解为几何体，而欧式空间本身是一个几何体，且很简单，仅一个笛卡尔坐标系足以覆盖整个欧氏空间。而对于球面空间，虽然可以嵌入到欧式空间中加以表示，但这种欧式表示是更高维的(比流形本身维度更高)。数学研究流形的可微性。

这段里的 “柔软” 和 “硬” 是很形象的。在拓扑学中，咖啡杯和甜甜圈是同胚的，即两者拓扑结构是一样的，可以想象咖啡杯内的物质是可以流动的，只要保持杯柄的圈还在，杯子就可以靠这种流动性变成甜甜圈的样子；而如果把它们嵌入到欧式空间中分析其几何机构，则大不一样。至于拓扑结构和几何结构，可参考《拓扑结构和几何结构的区别》，下面是摘抄：

光滑流形可以看作是介于两者之间的模型，其无穷小的结构是 “硬” 的，而整体结构则是 “柔软” 的。这就是前面所说的 “局部具有欧几里德空间性质”。

以地球作为物理意义解释。

以 “地图描述地球局部” 引出如何描述流形(就是之后要讲的坐标卡)。

接着举了一个非流形的例子，形象地说明了流形的要求：局部都是简单的。这比直接告诉你 “能同胚地映射到欧式空间” 要形象得多。

这类似于拓扑空间的概念，拓扑空间加上度量结构，就成了度量空间，定义内积就成了内积空间。而这里，拓扑流形也是最基础的，加上微分结构，就成了微分流形。如果在切空间上定义内积，又成了黎曼流形。

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Human_action_recognition_by_representing_3d_skeletons_as_points_in_a_lie group Depth sensors. Skelet ...
群论：李群（Lie Group）和几种经典李群
1. 简述李群的定义群论讲解步骤:群→连续群→拓扑群→李群李群是具有某种性质的拓扑群,一句话总结就是: 若群参数连续且无限阶可微的群称为李群. 用流形的语言描述就是: 李群简单地说就是具有群结构的 ...
机器人与视觉——李群与李代数，李括号性质的分析与证明
李群与李代数,李括号性质的分析与证明 1. 群的概念 1.1 特殊正交群S0(3)与特殊欧式群SE(3). 1.2 李群与李代数 2. 李代数的性质与证明 2.1 李代数的定义 2.2 李括号的定义 ...
[paper] A micro Lie theory for state estimation in robotics
[paper] A micro Lie theory for state estimation in robotics ① 简介 A Micro Lie Theory 李群(Lie group) Th ...
麻省理工学院的牛人解说数学体系，你到哪个层次了？
来源:数学与人工智能为什么要深入数学的世界我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具,但是,我认为它不是panacea,并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研. ...
麻省理工牛人解说数学体系
来源:P.Linux's blog与 ima 一.为什么要深入数学的世界作为计算机的学生,我没有任何企图要成为一个数学家.我学习数学的目的,是要想爬上巨人的肩膀,希望站在更高的高度,能把我自己研究的 ...

李群（Lie Group）

1. 问题由来

2. 什么都不懂，Group、Manifold 是什么？