牛牛的幂运算（思维，数学）

牛牛的幂运算

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/21578
来源：牛客网

题目描述
牛牛在做一道数学题，他发现自己不怎么会做，请你帮帮他
求有多少a,b,c,d满足ab = cd， 1<=a,b,c,d<=n, 模 109+7
输入描述:
输入一个整数n (1 ≤ n ≤ 109)
输出描述:
输出一个整数
示例1
输入
2
输出
6
示例2
输入
100
输出
21620
示例3
输入
22306
输出
68467
备注:
子任务一30分：n<=10000
子任务二30分：n<=1000000
子任务三40分：n<=1000000000

题意
中文题

题解
做法是看了题解和代码才知道思路的.但是我还是厚着脸皮的决定写下这篇博客。
因为这道题是我几个月前就看到了，但是一直不知道怎么做，也问了人，也没有解决。然后昨天又看到了这个题，决定补上它。题解来自EOJ，19年5月份月赛，那道题和这题基本一样。只不过那道题是 a m a x ， b m a x , c m a x , d m a x a_{max}，b_{max},c_{max},d_{max} amax，bmax,cmax,dmax

最好计算的就是 a = c , b = d a=c,b=d a=c,b=d或 a = c = 1 a=c=1 a=c=1
当 a = ̸ c a=\not c a≠c时，我们设 a = x i , c = x j a=x^i,c=x^j a=xi,c=xj，很显然，想要 a b = c d a^b=c^d ab=cd，必须 a , c a,c a,c有同样的底 x x x，并且 i ⋅ b = j ⋅ d i·b=j·d i⋅b=j⋅d。
因此枚举 i , j i,j i,j，显然 g c d ( i , j ) = ̸ 1 gcd(i,j)=\not1 gcd(i,j)≠1时，会重复计数。由 i , j i,j i,j我们也就可以确定 x x x的数量。随之，我们也确定了有多少 b , d b,d b,d满足 i ⋅ b = j ⋅ d i·b=j·d i⋅b=j⋅d。也就计算出了答案的更新量。

算法解释：
首先我们单独列出 a = c = 1 a=c=1 a=c=1的情况，即 a n s = b ∗ d ans=b*d ans=b∗d
然后两个循环枚举 i , j i,j i,j，对于每个 g c d ( i , j ) = 1 gcd(i,j)=1 gcd(i,j)=1的 i , j i,j i,j，我们都能知道有 M I N ( a m a x i , c m a x j ) MIN(\sqrt[i]{a_{max}},\sqrt[j]{c_{max}}) MIN(iamax ,jcmax )个 x x x,但是当 x = 1 x=1 x=1时，会出现问题，其实也就是 a = c = 1 a=c=1 a=c=1，这部分也是我们先单独列出的情况，所以事实上x的数量是 M I N ( a m a x i − 1 , c m a x j − 1 ) MIN(\sqrt[i]{a_{max}}-1,\sqrt[j]{c_{max}}-1) MIN(iamax −1,jcmax −1)，有 M I N ( b / j , d / i ) MIN(b/j,d/i) MIN(b/j,d/i)个等式 i ⋅ b = j ⋅ d i·b=j·d i⋅b=j⋅d成立.

另外需要额外注意的是，while(qpow(aa,i) <= a) aa++; aa--;这个手动补精度。。。不加手动补精度会产生误差，wa(过了98%的数据)，所以应该是 1 / i 1/i 1/i产生的精度误差，不知道对不对，只能这么强行解释了

代码

// #include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <assert.h>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
#define me(x,y) memset((x),(y),sizeof (x))
#define MIN(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
#define MAX(x,y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define SGN(x) ((x)>0?1:((x)<0?-1:0))
#define ABS(x) ((x)>0?(x):-(x))
// #define int __int128typedef long long ull;
typedef unsigned long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;const ll maxn = 2010;
const double INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
const double eps = 1e-17;
const double PI = std::acos(-1);ll qpow(ll a,ll b){ll ans = 1;while(b){if(b&1) ans = ans*a;a = a*a;b >>= 1;}return ans;
}int main(){// ios::sync_with_stdio(false);
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("1in.in","r",stdin);freopen("1out.out","w",stdout);
#endifll a,b,c,d;int n;while(cin>>n){// cin>>a>>b>>c>>d;a = b = c = d = n;ll ans = d*b;for(int i = 1; i <= 32; ++i){for(int j = 1; j <= 32; ++j){if(__gcd(i,j) == 1){ll aa = pow(a,1.0/i);ll cc = pow(c,1.0/j);while(qpow(aa,i) <= a) aa++; aa--;while(qpow(cc,j) <= c) cc++; cc--;ans = (ans+MIN(aa-1,cc-1)*MIN(b/j,d/i))%MOD;}}}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

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