考研线性代数考点总结
一.行列式
1.数字型行列式
- 数字行列式的计算
- 含零子式的分块计算
2.行列式的性质
|A|=|A^T|- 交换行列，行列式的值变号
- 含公因子的提出或乘进去
- 把某行的K倍加到另一行，行列式的值不变。
- 行列式可以根据某一行或某一列分拆
3.抽象行列式
n阶或高阶行列式
常规的重点行列式一定要掌握
含有具体数字，有可能展开或递归
一般把含有相同的划到一边组合再计算
4.计算性质
|A*|=|A|n-1
|A**|=|A|(n-1)方
一个矩阵为正交矩阵，并且行列式的值<0，则它的特征值必有-1.
二.矩阵
1.矩阵的基本运算
经典例题：
- A的秩为1
- （E+A）n 的二项式定理展开
- |A|n
- 二项式定理展开系数求和
例题请看世纪高教视频。
2.矩阵的幂运算
一般会用到P-1 BP的累乘
3.矩阵的初等变换
矩阵A经过有限次初等变化得到B，则A和B是等价的；等价带来的关系只有同时可逆、秩相同、行列式值相等，不包括特征值的对应关系。（所以在矩阵里，相似比等价“大”的地方就是相似的两个矩阵对应的特征值也相等）
4.伴随矩阵和可逆矩阵
- 注意伴随矩阵和原矩阵的元素对应关系
- 一般涉及到添加单位矩阵参与化简运算
- 几个公式要记劳
小技巧：求某些矩阵运算后的行列式的值，不要被行列式影响，先取“绝对值”里面的矩阵运算化简，一般都是抽象矩阵，化简对了结果就出来了
秩的重要（易遗忘性质）：
- |r(A)-r(B)|<=r(A+/-B)<=r(A)+r(B)
5.矩阵方程
参考后面的线性方程组这一部分
三.向量
1.向量的运算
- 加法（减法看成负数的加法）
- 数乘（除法看作分数的乘法）
- 内积（向量的独特运算）
- 向量正交（内积为0）
2.线性相关问题
也可以理解为线性无关问题
定义：零解非零解的讨论（用的少，便于理解而已）
秩：
满秩===》线性无关
不满秩===》线性相关
行列式：
由秩可以提出来：
- |A|=0，线性相关
- |A|!=0，线性无关
重要结论：
n+1个n维向量必线性相关
线性相关本来是两个或多个向量之间关系的概念，但如果只有一个向量，非要说线性无关的概念，那么有一个0向量线性相关，一个非0向量线性无关。（一般不这么说）
一组向量新加向量，其相关可能性变大；一组向量新加元素，其无关可能性变大。
等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价
一个关系：两向量正交一定线性无关，而线性无关未必正交。
3.线性表示问题
可以理解到后面的线性向量组解的问题
- 唯一表示：r(A)=r(A|b)=n
- 多种表示：r(A)=r(A|b)<n
- 不能表示：r(A)<r(A|b)
4.极大线性无关组
秩主元所在的向量构成一个极大线性无关组
四.线性方程组
1.齐次线性方程组
首先，理解一下概念：
方程组的一般形式和向量形式
方程组的解（有解或无解能有什么关系）
基础解系与通解
基础解系是一个代表，而通解包含所有的基础解系
基础解系向量个数
基础解系的向量个数+r(A)=n(未知量的个数)
这里n在一般形式中就是x的个数，在向量形式中一般就是列数
2.非齐次线性方程组
有解的条件：
- 有唯一解
- 有无穷解
- 无解
对应第三部分的线性表示问题
解的性质：
- 齐次的解+非齐次的解仍是非齐解
- 非齐次的通解结构为对应的齐次通解+非齐次方程的一个特解
- 求特解时，选择自由变量全取0，可以得到对应的一个特解
这里面的核心问题就是这两个对应的知识点，一个是解的存在条件，一个是求通解。
五.特征值、特征向量、相似矩阵
1.特征值与特征向量
- n阶矩阵也就是（方阵）才有特征值
- 特征向量不为0
步骤：
1.求特征值
快速方法都是行与列的结合，如果只单纯行变化，会感觉计算非常复杂
2.根据特征值求对应的特征向量
总爱忘了，它是根据对应 特征值的齐次方程组求解特征向量
2.相似矩阵
相似矩阵的性质：
- 1.自身性：A~A
- 2.对称性：
A~B ====> B~A- 3.传递性
3.正交矩阵
定义：A*AT =AT *A=E
A是正交矩阵，其行列式的值为1或-1。
A是正交矩阵，其逆矩阵、伴随矩阵也是正交矩阵
若A、B都是正交矩阵，则AB和BA也都是正交矩阵
4.实对称阵
- 都是实数
- 对称矩阵
跟普通方阵相比，普通方程的特征值可能是复数，而实对称阵的特征值一定是实数。
| 对比点 | 普通方阵 | 实对称阵 |
|---|---|---|
| 特征值 | 可能复数 | 一定实数 |
| 不同特征值对应的特征向量 | 线性无关 | 线性无关+相互正交 |
| 相似对角化 | 不一定 | 一定 |
| 正交相似对角化 | 不能 | 能 |
正交相似对角化：相似对角化矩阵是正交矩阵
六.二次型
1.二次型的标准化（配方法）
- 1.令x1=y1+y2，x2=y1-y2，x3=y3，化简（若含有平方项可跳过）
- 2.配x1
- 3.配x2
- 4.配x3
- 5.描述可逆线性变换和最后的二次型标准型
2.二次型的标准化（正交变换法）
- 1.写出二次型的矩阵形式
- 2.求出矩阵的特征值
- 3.求出对应特征值的特征向量
- 4.正交化、单位化
- 5.写出最后的可逆线性变化
3.惯性定理与矩阵合同
可逆线性变换不改变二次型的正负惯性指数
A可逆线性变换得到B，则AB合同
2021年真题笔记
- 选3：泰勒展开式
- 选4：0到1上积分的极限表达式
- 选7：分块矩阵秩的理解
- 填3：积分的奇偶性、对称性
- 填4：欧拉方程（冷门）
- 填5：抽象行列式计算问题
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