高等数学

编辑于 2021 /12/21 14.01

李鹤年

图片若有侵权，请联系删除

知识连接：
（1）曲面积分 - 涉及偏导知识

（2）化二重积分 - 涉及二重积分的计算方法

（3）高斯公式 - 涉及三重积分的计算方法

第一类曲面积分

定义部分：

1.本质：求曲面的近似面积

2.公式：∫∫f（x,y,z)dS (当这个ds足够小的时候，其带入对应函数值也可以近似为其映射曲面的面积)

（注：若f（x,y,z）表示面密度，则积分结果代表质量

3.性质：

（1）1做积分函数，结果代表曲面的面积∫ds = s

计算方法：

（1）直接化成二重积分：

投影面不能成线（如下面第二题不能选xoy）

在这里插入图片描述

公式理解：

从曲面积分到二重积分，变的有两点，一是代换，二是加偏导

代换：因为我是在曲面上分析计算的，而曲面是满足这个等式关系的，所以能替换很合理

补偏导：其实就是曲线积分的推广，求曲线，ds =根号（dx^2 + dy ^2),到了三维，就是多补一个dz

（一个不严谨的推导，仅用于记忆）

注意点：

（1）选择一个好的投影面（就是看谁偏导好求）

（2）积分区域是投影的那个面（不是原来的曲面）

（3）记得补偏导

（2）利用对称性：

记忆方法：
投哪个面，就看剩下一个面的奇偶性

什么时候用得上：

（1）一些一眼看过去很复杂的积分（往往是奇函数得0）

（2）一些对称了，但没有完全对称的函数，不如分母都有xy，分子只有x（用轮换，如下只有一个|y|）

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/4b8fb7b30b134fc4a63af4

第二类曲面积分

定义：

理解：

本质：曲面在三个坐标上的分量

性质：（易错）

解法：

解法一：

理解：

因为这里是dxdy而不是ds，所以不需要偏导（重要）

在这里插入图片描述

解法二：

（对应题目类型，一般有一个不知道的f（x,y,z），算一下会被消去）

上面不能用高斯公式（因为连续不一定可导）

解法三（高斯公式）

本质：曲面积分到三重积分的桥梁（使用三重积分的方法去解）

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZqlSoIdN-1640066600424)(C:\Users\鹤年\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20211221135505721.png)]

记忆：满足条件的情况下，dv可以看成dxdydz，然后乘进去就等于左侧了

使用时易错点：

（1）补面之后记得减

（2）不连续的地方得删除

考研数学-高等数学-曲面积分相关推荐

曲线积分与曲面积分的计算机应用,谈曲线积分与曲面积分的运算
内容摘要:在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面介绍一些计算曲线和曲面的积分方法. 关键词:曲面积分;曲线积分;实例 ...
曲面积分的投影法_曲面积分在数学专业考研中的应用与计算方法
曲线积分在数学专业考研中的应用与计算方法本文主要对第一类曲面积分与第二类曲面积分进行方法上的讲解,通过回顾其定义与性质,利用化二重积分.两类曲面积分之间的联系与轮换对称性,求曲面的形心.斯托克斯公式 ...
对曲面的积分求椭圆的面积_此题是关于数学考研的曲面积分题∫∫（xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x2+y2+z2)3/2,曲面是上半椭圆球面...
第一题∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy= (1/a³)∫∫Σ x(- ...
【考研数学】八.曲面积分
文章目录曲面积分基础知识点1 曲面积分的分类基础知识点2 第一类曲面积分的识别基础知识点3 第二类曲面积分的识别基础知识点4 第二类曲面积分的可省略写法基础知识点5 当被积函数为1时第一类 ...
曲线积分与曲面积分总结_高等数学课程内容、知识点总结与典型题
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! 课程内容总结文章列表 <高等数学>课程学习.备考应知应会知识点必备网络图全套<高等数学>内容 ...
曲线积分与曲面积分总结_高等数学、线性代数、概率统计等课程单元、综合测试题与知识点总结...
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! <高等数学>单元测试与综合练习题 <函数与连续>单元测试题(一)及参考解答 <函数与连续 ...
【考研数学一】高等数学做题框架（初步）
[考研数学一]高等数学做题框架前言写一下高等数学的做题思路,算是补充<[做题策略]考研数学一初步分析>的一部分细节. 算是快速写一下,立一个靶子,然后后期慢慢修饰勾勒. 分值安排: 2 ...
【高等数学笔记】曲面积分的计算
文章目录一.第一型面积分 1. 参数方程 2. 直角坐标方程二.第二型曲面积分方法一:高斯公式方法二:定义法方法三:化为第一型面积分方法四:将对三个坐标面的积分转化到一个坐标面上一.第一 ...
23考研李林880第九章曲线积分与曲面积分综合题3-21
视频讲解:23考研李林880第九章曲线积分与曲面积分综合题3-21 题目设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在x2+y2≤1x^2+y^2\leq1x2+y2≤1上有一阶连续偏导数,且在边界上取值 ...

考研数学-高等数学-曲面积分