水平集和符号距离函数

零水平集

定义： 对于一个函数 ϕ(x⃗)：Rn→R\phi(\vec x)：{\mathbf{R}^n}\rightarrow \mathbf{R}ϕ(x)：Rn→R（其中x⃗∈Rn\vec x \in {\mathbf{R}^n}x∈Rn ，下同），取其值域为零部分对应的定义域：

Γ={x⃗∣ϕ(x⃗)=0}(1)\Gamma = \{ \vec x|\phi (\vec x) = 0\} \tag{1} Γ={x∣ϕ(x)=0}(1)

这里， Γ∈Rn−1\Gamma \in {\mathbf{R}^{n-1}}Γ∈Rn−1 称为函数 ϕ\phiϕ 的零水平集，反之， ϕ\phiϕ 称为 Γ\GammaΓ 的一个水平集函数。
通俗地说，函数的水平集是这个函数在某个高度上所有点的一个集合。

函数的零水平集有一些良好的性质，在如下图所示的曲面演化问题中，

n⃗\vec nn 为外法线向量， Γ\GammaΓ 为演化曲线。我们不妨假设有函数 ϕ(x⃗)\phi(\vec x)ϕ(x)，它的零水平集为 Γ\GammaΓ ，并且满足，

{ϕ>0x⃗∈Γinϕ<0x⃗∈Γout(inandout)\left\{ \begin{aligned}\tag{inandout} &\phi > 0&&\vec x \in {\Gamma_{in}}\\ &\phi < 0&&\vec x \in {\Gamma_{out}}\\ \end{aligned} \right.{ϕ>0ϕ<0x∈Γinx∈Γout(inandout)

这里， Γin\Gamma_{in}Γin 表示 Γ\GammaΓ 内部， Γout\Gamma_{out}Γout 表示 Γ\GammaΓ 外部。那么，对于任意的 x⃗∈Γ\vec x \in \Gammax∈Γ ， ϕ\phiϕ 有如下两个性质：

性质一：∇ϕ∣∇ϕ∣=−n⃗(zlsp1)\tag{zlsp1} \frac{{\nabla \phi }}{{|\nabla \phi |}} = - \vec n∣∇ϕ∣∇ϕ=−n(zlsp1)
Proof. 如图所示，设 s⃗\vec ss 为零水平集 Γ\GammaΓ 的切线方向， ϕ\phiϕ 在 Γ\GammaΓ 沿切线方向上恒为零，故有：
∂ϕ∂s=0\frac{{\partial \phi }}{{\partial s}} = 0∂s∂ϕ=0 由链式法则，可得：
ϕs(x⃗)=∇ϕ⋅x⃗s=0{\phi _s}(\vec x) = \nabla \phi \cdot {{\vec x}_s} = 0ϕs(x)=∇ϕ⋅xs=0
由此可知 ∇ϕ\nabla \phi∇ϕ 与切向垂直，对 ∇ϕ\nabla \phi∇ϕ 进行单位化并根据 ϕ\phiϕ 内正外负的情况取符号，即得：
∇ϕ∣∇ϕ∣=−n⃗\frac{{\nabla \phi }}{{|\nabla \phi |}} = - \vec n∣∇ϕ∣∇ϕ=−n
性质二：div(∇ϕ∣∇ϕ∣)=−trace(∇⋅n⃗)=−κ(zlsp2)\tag{zlsp2} {\rm{div}}(\frac{{\nabla \phi }}{{|\nabla \phi |}}) = -\text{trace} (\nabla\cdot \vec n) = -\kappadiv(∣∇ϕ∣∇ϕ)=−trace(∇⋅n)=−κ(zlsp2)
Proof.
ϕs\phi_sϕs 在 Γ\GammaΓ 沿切线方向上恒为零，故有： ϕss=0\phi_{ss}=0ϕss=0 ，由链式法则，可知：
ϕss(x⃗)=∂∂s(∇ϕ⋅x⃗s)=∂∂s∇ϕ⋅x⃗s+∇ϕ⋅x⃗ss{\phi _{ss}}(\vec x) = \frac{\partial }{{\partial s}}(\nabla \phi \cdot {{\vec x}_s}) = \frac{\partial }{{\partial s}}\nabla \phi \cdot {{\vec x}_s} + \nabla \phi \cdot {{\vec x}_{ss}}ϕss(x)=∂s∂(∇ϕ⋅xs)=∂s∂∇ϕ⋅xs+∇ϕ⋅xss
由曲率的定义，有 x⃗ss=−κn⃗\vec x_{ss}=-\kappa \vec nxss=−κn ，由上一个性质，有 ∇ϕ⋅n⃗=−∣∇ϕ∣\nabla \phi \cdot \vec n = -|\nabla \phi|∇ϕ⋅n=−∣∇ϕ∣ ，代入上式，移项，可得：
−κ∣∇ϕ∣=∂∂s∇ϕ⋅x⃗s- \kappa |\nabla \phi | = \frac{\partial }{{\partial s}}\nabla \phi \cdot {{\vec x}_s}−κ∣∇ϕ∣=∂s∂∇ϕ⋅xs
将其左端展开，即证。

性质二本质上就是曲率的定义。因为曲率是 Weingarten Map ∇n⃗=∇2d\nabla \vec n=\nabla^2 d∇n=∇2d 对角线上的元素。这里的 ddd 提前说了，它表示距离函数。另外，Weingarten Map 和 n⃗\vec nn 也是垂直的，即 ∇2d∇d=0\nabla^2 d \nabla d=0∇2d∇d=0。

符号距离函数

符号距离函数（Signed Distance Function）是一个水平集函数，它给定了点到某条曲线上距离这个点最近点的距离，也可以说是这个点离曲线的最短距离，它在数学上可以这样表述：

在某区域上给定一条曲线 Γ\GammaΓ ，定义与之相关的函数：
d(Γ,x⃗)={min⁡y⃗∈Γ∣x⃗−y⃗∣x⃗∈Γin−min⁡y⃗∈Γ∣x⃗−y⃗∣x⃗∉Γind(\Gamma,\vec x)= \left\{ \begin{aligned} \mathop {\min }\limits_{\vec y \in \Gamma } |\vec x - \vec y| & & &\vec x \in \Gamma_{in}\\ -\mathop {\min }\limits_{\vec y \in \Gamma } |\vec x - \vec y|& & &\vec x \notin \Gamma_{in}\\ \end{aligned} \right.d(Γ,x)=⎩⎪⎨⎪⎧y∈Γmin∣x−y∣−y∈Γmin∣x−y∣x∈Γinx∈/Γin
Γin\Gamma_{in}Γin 指 Γ\GammaΓ 内部，二维情况下， x⃗∈R2，y⃗∈R2\vec x \in \mathbf{R}^2 \text{，} \vec y\in \mathbf{R}^2x∈R2，y∈R2 ，那么称 ddd 为一个符号距离函数，下面把符号距离函数也简称为 SDF 。

符号距离函数有很多良好的性质，包括在边界上的几乎处处可微，关于凸区域的凸性，以及不同符号距离函数之间和差运算的一些性质，作为重点，列以下两条关于单位法向量和平均曲率的性质：

对于任意的 x⃗∈Γ\vec x \in \Gammax∈Γ ∣∇d∣=1(sdfp1)\tag{sdfp1} |\nabla d| = 1∣∇d∣=1(sdfp1) 这也是符号距离函数的一个判断条件，它是充要的。
对于任意的 x⃗∈Γ\vec x \in \Gammax∈Γ ，由水平集函数的性质可得：
∇d=−n⃗⋅∣∇d∣=−n⃗Δd=−κ∣∇d∣=−κ(sdfp2)\tag{sdfp2} \begin{aligned} &\nabla d = - \vec n \cdot |\nabla d|=-\vec n &\\ &\Delta d = - \kappa |\nabla d| = - \kappa & \end{aligned}∇d=−n⋅∣∇d∣=−nΔd=−κ∣∇d∣=−κ(sdfp2)

第二条的拉普拉斯算子 Δd\Delta dΔd，本质上就是 ddd 的 Hessian ∇2d\nabla^2 d∇2d 对角线上的元素，即曲率。