马拉车 Manacher

Manacher，也叫马拉车。是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性算法。

一个字符串的长度有可能是偶数也可能是奇数。为了实现方便，对原串略加改动。如 ababca 为 $#a#b#a#b#c#a#，令新串为 sss。

定义 pip_ipi 为以 iii 为对称中心的最长回文半径。刚刚栗子的 ppp 为

$ # a # b # a # b # c # a #
1 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1

可以发现：

sis_isi 在原串的位置为 ⌊i2⌋\lfloor\frac{i}{2}\rfloor⌊2i⌋。
非字母字符对应的 pip_ipi 为奇数，字母字符对应的 pip_ipi 为偶数。在新串中，因为有其它的字符，所以以 iii 为中心的最长回文子串半径为 ⌊pi2⌋\lfloor\frac{p_i}{2}\rfloor⌊2pi⌋，以 iii 为中心的最长回文子串长度为 pi−1p_{i} - 1pi−1。那么初始化是简单明了的。

void init(){str[1] = '$'; str[2] = '#';for (int i = 1; i <= n; i++) str[i * 2 + 1] = s[i], str[i * 2 + 2] = '#';n = (n + 1) * 2 + 1;
}

难点在构造 ppp，从左到右构造 ppp 数组。令 mxmxmx 为以 ididid 为中心的最长回文子串的右边界，有 id+pid=mxid + p_{id} = mxid+pid=mx。对于当前的 iii，如果有 i<mxi < mxi<mx，那么 pi=min⁡{p2×id−i,mx−i}p_i = \min \{ p_{2 \times id - i}, mx - i\}pi=min{p2×id−i,mx−i}。

略证：令 jjj 为 2×id−i2 \times id - i2×id−i，那么 pi=min⁡{pj,mx−i}p_i = \min \{ p_j, mx-i \}pi=min{pj,mx−i}。有 i+j2=id\frac{i + j}{2} = id2i+j=id，故根据中点公式知 ididid 为 iii 与 jjj 的中点。

如下图，对于取 pjp_jpj 的情况为 iii 与 jjj 那一段相等。那么 iii 的那一段能更长吗？不能的，因为如果更长，意味着 sl−1=sr+1s_{l-1} = s_{r+1}sl−1=sr+1 了。如果成立，有 l−1l-1l−1 与匹配 l−1l-1l−1 的点相同，进而有蓝线的成立关系，蓝线成立则与 pjp_jpj 已经求出矛盾。

刚才讨论的情况是 pjp_jpj 在 ididid 的覆盖范围的，若超出，那么不满足限定 iii 与 jjj 那一段相等。如下图，根据 ididid 是 iii 与 jjj 的中点，可知 pip_ipi 最短也是 mx−imx-imx−i，那么可能更大即为 iii 扩展到 mxmxmx 往右呢？不能的，因为若想让蓝线成立，那么有绿线成立，进而有橙线成立，而橙线成立超出了以 ididid 为对称中心的 mxmxmx 的边界而矛盾。

综上所述。 pi=min⁡{p2×id−i,mx−i}p_i = \min \{ p_{2 \times id - i}, mx - i\}pi=min{p2×id−i,mx−i}，并随时更新 ididid 与 mxmxmx。

void manacher(){int mx = 0, id = 0;for (int i = 2; i <= n; i++){if (i < mx) p[i] = min(p[id * 2 - i], mx - i);else p[i] = 1;for (; str[i + p[i]] == str[i - p[i]]; p[i]++) if (p[i] + i > mx) id = i, mx = p[i] + i;}
}

马拉车还可用于 hash，所以不一定是字母回文，还可能是数字回文。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define F first
#define S second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const int N = 3e7 + 1e6 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int read() {int x = 0, f = 0; char ch = 0;while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();return f ? -x : x;
}
int n, p[N];
char s[N], str[(N << 1) + 100];
void init(){str[0] = '$'; str[1] = '#';for (int i = 0; i < n; i++) str[(i << 1) + 2] = s[i], str[(i << 1) + 3] = '#';n = (n << 1) + 2;
}
void manacher(){int mx = 0, id = 0;for (int i = 1; i < n; i++){if (i < mx) p[i] = min(p[(id << 1) - i], mx - i);else p[i] = 1;for (; str[i + p[i]] == str[i - p[i]]; p[i]++) if (p[i] + i > mx) id = i, mx = p[i] + i;}
}
int main(){scanf("%s", s); n = strlen(s);init(); manacher();int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++) ans = max(ans, p[i]);printf("%d\n", ans - 1);return 0;
}

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