对数（logarithm）

认识对数函数

$8=2^3$ 指数

$log_{2}8=3$ 对数log

$8=2^{log_{2}8}$

对数函数是指数函数的反函数。

如果对数log的底数是10，这是常用对数，使用log数学公式表达时，常常会省略10。

建立 $log_{10}x$ 的对数表，其中真数x是1.1~10.0。

import numpy as npn = np.linspace(1.1, 10, 90)            # 建立1.1-10的数组
count = 0                               # 用于计算每5笔输出换行
for i in n:count += 1print('{0:2.1f} = {1:4.3f}'.format(i, np.log10(i)), end='    ')if count % 5 == 0:                  # 每5笔输出就换行print()

运行结果如下：

[Running] python -u "c:\Users\a-xiaobodou\OneDrive - Microsoft\Projects\tempCodeRunnerFile.py"
1.1 = 0.041    1.2 = 0.079    1.3 = 0.114    1.4 = 0.146    1.5 = 0.176
1.6 = 0.204    1.7 = 0.230    1.8 = 0.255    1.9 = 0.279    2.0 = 0.301
2.1 = 0.322    2.2 = 0.342    2.3 = 0.362    2.4 = 0.380    2.5 = 0.398
2.6 = 0.415    2.7 = 0.431    2.8 = 0.447    2.9 = 0.462    3.0 = 0.477
3.1 = 0.491    3.2 = 0.505    3.3 = 0.519    3.4 = 0.531    3.5 = 0.544
3.6 = 0.556    3.7 = 0.568    3.8 = 0.580    3.9 = 0.591    4.0 = 0.602
4.1 = 0.613    4.2 = 0.623    4.3 = 0.633    4.4 = 0.643    4.5 = 0.653
4.6 = 0.663    4.7 = 0.672    4.8 = 0.681    4.9 = 0.690    5.0 = 0.699
5.1 = 0.708    5.2 = 0.716    5.3 = 0.724    5.4 = 0.732    5.5 = 0.740
5.6 = 0.748    5.7 = 0.756    5.8 = 0.763    5.9 = 0.771    6.0 = 0.778
6.1 = 0.785    6.2 = 0.792    6.3 = 0.799    6.4 = 0.806    6.5 = 0.813
6.6 = 0.820    6.7 = 0.826    6.8 = 0.833    6.9 = 0.839    7.0 = 0.845
7.1 = 0.851    7.2 = 0.857    7.3 = 0.863    7.4 = 0.869    7.5 = 0.875
7.6 = 0.881    7.7 = 0.886    7.8 = 0.892    7.9 = 0.898    8.0 = 0.903
8.1 = 0.908    8.2 = 0.914    8.3 = 0.919    8.4 = 0.924    8.5 = 0.929
8.6 = 0.934    8.7 = 0.940    8.8 = 0.944    8.9 = 0.949    9.0 = 0.954
9.1 = 0.959    9.2 = 0.964    9.3 = 0.968    9.4 = 0.973    9.5 = 0.978
9.6 = 0.982    9.7 = 0.987    9.8 = 0.991    9.9 = 0.996    10.0 = 1.000    [Done] exited with code=0 in 4.013 seconds

对数表的功能

有一块3平方米的土地，究竟边长是多少？

$3=x^2$

$x=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$

3大概是10的0.477次方

$x=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}=(10^{0.477})^{\frac{1}{2}}=10^{0.477*0.5}=10^{0.2385}$

$x\approx 1.7$

>>> import math
>>> math.sqrt(3)
1.7320508075688772
>>>

对数运算可以解决指数运算的问题

540天的秒数，可以用10的多少次方表达？

$540*24*60*60$

$=54*10*6*4*6*10*6*10$

$=216*6^3*10^3$

$=6^3*6^3*10^3$

$=6^6*10^3$

$6=10^{\frac{n}{m}}$

$6^m=(10^{\frac{n}{m}})^{m}=10^{\frac{n}{m}m}=10^n$

$6^9\approx 10^7$

n=7，m=9

$6=10^{\frac{n}{m}}=10^{\frac{7}{9}}=10^{0.778}$

540天秒数 $=6^6*10^3\approx (10^{0.778})^6*10^3=10^{4.668+3}=10^{7.668}$

>>> pow(10,7.668)
46558609.35229591
>>> 540*24*60*60
46656000
>>>

$y=log_{b}x$

x=6,b=10

$10^y=6$

$y=log_{10}6$ =0.778

540天秒数= $6^6*10^3\approx (10^{0.778})^6*10^3=10^{4.668+3}=10^{7.668}$

认识对数的特性

处理比较大的数据运算时，使用对数可以有比较好的运算方法，可以节省运算时间，这一点对于机器学习是很有帮助的。

将对数的底数设为2与0.5，将真数的值设为0.1~10，然后绘制图表。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import mathx1 = np.linspace(0.1, 10, 99)                   # 建立含30个元素的数组
x2 = np.linspace(0.1, 10, 99)                   # 建立含30个元素的数组
y1 = [math.log2(x) for x in x1]
y2 = [math.log(x, 0.5) for x in x2]
plt.plot(x1, y1, label="base = 2")
plt.plot(x2, y2, label="base = 0.5")plt.legend(loc="best")                          # 建立图例
plt.axis([0, 10, -5, 5])
plt.grid()
plt.show()

执行结果：

对于底数是2的对数函数，如果真数大于1，会呈现正值同时递增，如果真数小于1，会呈现负值，当真数接近0时，则呈现无限小。

对于底数是0.5的对数函数，如果真数大于1，会呈现负值同时递减，如果真数小于1，会呈现正值，当真数接近0时，则呈现无穷大。

另外，当真数是1时，不论底数是多少，对数函数会通过（1,0）。

对数的运算规则与验证

等号两边使用对数处理结果不变

有一个公式：x=y

两边使用对数处理，可以得到相同的结果：

$log_bx=log_by$

假设f(x)=x，f(y)=y，其实只是将函数转成对数函数。

对数的真数是1

如果对数的真数是1，不论底数b是多少，结果是0：

$log_b 1=0$

$b^0=1$

两边用对数处理：

$log_bb^0=log_b 1$

对数的底数等于真数

对数的底数等于真数时概念如下：

$log_b b=1$

对数内真数的指数

概念如下：

$log_bx^n=nlog_bx$

$x=b^{log_bx}$

$x^n=(b^{log_bx})^n=b^{nlog_bx}$

等号两边执行对数 $log_b$ 运算，可以得到下列结果：

$log_bx^n=log_bb^{nlog_bx}=nlog_bx$

对数内真数是两数据相乘

概念如下：

$log_bMN=log_bM+log_bN$

假设 $M=x^m,N=x^n$ ，则上述公式可以推导下列结果。

$log_bMN=log_bx^mx^n =log_bx^{m+n} =(m+n)log_bx=mlog_bx+nlog_bx=log_bx^m+log_bx^n=log_bM+log_bN$

对数内真数是两数据相除

概念如下：

$log_b\frac{M}{N}=log_bM-log_bN$

$log_b\frac{M}{N}=log_bM+log_b\frac{1}{N}=log_bM-log_bN$

底数变换

概念如下：

$log_bx=\frac{log_ax}{log_ab}$

假设 $z=log_b x$

$x=b^2$

$log_ax=zlog_ab^z$

$log_ax=zlog_ab$

$z=\frac{log_ax}{log_ab}$

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对数的真数是1

对数的底数等于真数

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