1 凸包的定义

凸包可分为二维凸包（Polygon）与三维凸包（Polyhedron），本文主要介绍二维凸包。

1.1 顶点定义法

给定 $R^{n}$ 空间上的有限点集S，由点集中有限个极点（Extreme Point）构成的凸对象（Convex Object），就称为凸多胞体。

极点可看成是多胞体的顶点，以二维多边形为例，极点就相当于凸多边形的顶点。使用严格的数学定义来说，极点是指那些不能由凸多胞体内的其它点的凸组合（Convex Combination）表示出来的点。给定点 $x_{1}$ ,..., $x_{k}$ 一共k个点它的凸组合可以用下面的等式表示：

$a_{1}x_{1}+...+a_{_k}x_{_k} \geq 0, a_{_1}+...+a_{_k} = 1$

一条线段就是它的端点的所有的凸组合，三角形就是它的三个顶点的凸组合，一个四面体是它的四个顶点的凸组合。

换句话，对于 $R^{n}$ 空间中的对象K，如果对象中的任意两个点构成的线段，也包含在对象K内，则称对象K是凸的。如下图所示的两个多边形P1和P2，多边形P1中的任意两点连成的线段也在多边形内，因此多边形P1是凸的；但是多边形P2中，存在两点的连成的线段不存多边形内的情况，如图中的线段 $A_{_2}B_{_2}$ ，因此多边形P2不是凸的。

1.2 其他定义方法

其它定义方法还包括：半空间半定义法、面（Facet）的定义、岭（Ridge）的定义等，本文主要介绍顶点定义法。

2 Gift-wrapped算法

2.1 算法的思想

找一个极点（左上角、左下角、右上角、右下角）；
遍历所有点，找出和极点偏转角度最小的点（顺时针）,当偏转角度相同时找与极点距离更远的点；
将当前点作为下一个极点，继续找点；
直到找到第一个极点，算法结束。

2.2 程序流程图

3 算法的实现（Java）

3.1 案例分析

考虑依次输入的五个点（1,1）、（10,10）、（1,10）、（1,2）、（2,3）、（3,2），要求计算构成凸包周长顶点的输入点的最小子集。

对于这个问题，结合前面的算法思想，我们需要先完成一个计算与极点转动角度的函数calculateBearingtoPoint(double currentbearing, int currentX, int currentY, int targetX, int targetY)。

这个函数的思想就是：首先依据给定的起始点、目标点的坐标分坐标轴的四个象限来讨论计算出它们连线与north方向的夹角x（此时假设currentbearing为0），最后分两种情况：1.夹角角度大于起始角度：转动角度就等于夹角与起始角度的差值；2.夹角角度小于起始角度：转动角度就等于360.0与起始角度的差值再加上x。依据此原理，设计的calculateBearingToPoint函数：

public static double calculateBearingToPoint(double currentBearing, int currentX, int currentY, int targetX, int targetY) {double x=0,t1=0,t2=0,angle=0;t1 = (double) targetX - currentX;t2 = (double) targetY - currentY;angle = Math.toDegrees(Math.atan(t1 / t2));if(t2 == 0)x = t1 > 0 ? 90 : 270;else if((t1>=0 && t2>0) || (t1<0 && t2!=0))x = angle;elsex = 270 - angle;if(x >= currentBearing)return x - currentBearing;elsereturn 360 - currentBearing + x;}

然后结合前面的gift-wrapped算法的分析，完成convexHull(Set<Point> points)函数。

3.2 代码

public static double calculateBearingToPoint(double currentBearing, int currentX, int currentY, int targetX, int targetY) {double x=0,t1=0,t2=0,angle=0;t1 = (double) targetX - currentX;t2 = (double) targetY - currentY;angle = Math.toDegrees(Math.atan(t1 / t2));if(t2 == 0)x = t1 > 0 ? 90 : 270;else if((t1>=0 && t2>0) || (t1<0 && t2!=0))x = angle;elsex = 270 - angle;if(x >= currentBearing)return x - currentBearing;elsereturn 360 - currentBearing + x;}public static Set<Point> convexHull(Set<Point> points) {//throw new RuntimeException("implement me!");ArrayList<Point> cH = new ArrayList<Point>();ArrayList<Point> scH = new ArrayList<Point>();scH.addAll(points);int length = scH.size();Point p;if(length > 3){p = scH.get(0);for(int i=1; i<length; i++) //首先确定左下角的点为极点{if(p.x() > scH.get(i).x())p = scH.get(i);else if(p.x() == scH.get(i).x() && p.y() > scH.get(i).y())p = scH.get(i);}cH.add(p); // 将第一个极点加入凸包Point current=p;double smallangle,smalldis;int i=0;scH.remove(current);while(true){double currentbearing = 360.0, dis=0.0;Point point = null;for (Point target : scH){smallangle = calculateBearingToPoint(0, (int) current.x(), (int) current.y(),(int) target.x(), (int) target.y());smalldis = Math.pow(current.x() - target.x(), 2) + Math.pow(current.y() - target.y(), 2);if (smallangle < currentbearing){point = target;currentbearing = smallangle;dis = smalldis;}else if (smallangle == currentbearing && smalldis > dis) //偏角相同，取距离远的{point = target;dis = smalldis;}}current = point;cH.add(point);scH.remove(point);i++;if(i == 1)scH.add(p);if(cH.get(i) == p) //若再次遇到初始极点，则算法终止break;} Set<Point> res = new HashSet<Point>();res.addAll(cH);return res;}elsereturn points;}

凸包问题的gift-wrapped算法相关推荐

计算几何入门 1.4：凸包的构造——Jarvis March算法
回顾凸包构造算法:极点法.极边法和增量构造法,其复杂度分别为O(n^4).O(n^3)和O(n^2),效率经过优化已经大大提高了.接下来引入一种新的算法--Jarvis March,其复杂度也是O(n ...
[Poj 2187] 计算几何之凸包(二) {更高效的算法}
{ 承上一节继续介绍点集的凸包 (下文中所有凸包若不做特殊说明均指点集的凸包) 这一节介绍相比更高效的算法 } ========================================= ...
C++ 基于凸包的Delaunay三角网生成算法
Delaunay三角网,写了用半天,调试BUG用了2天--醉了. 基本思路比较简单,但效率并不是很快. 1. 先生成一个凸包: 2. 只考虑凸包上的点,将凸包环切,生成一个三角网,暂时不考虑Delau ...
计算几何入门 1.6：凸包的构造——Graham Scan算法
上文简要分析出了凸包构造问题算法的下界:O(nlogn),在此就引入一种下界意义上最优的算法:Graham Scan算法.这种算法可以保证在最坏情况下时间复杂度也不超过nlogn.我们先大致了解一下算 ...
凸包问题的快包算法代码（C语言）
二维凸包可以用来解决围栏问题.城市规划问题.聚类分析等等. 原文链接:http://blog.csdn.net/bone_ace/article/details/46239187 分治法时间复杂度: ...
HDUOJ 1392凸包graham算法
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #i ...
c++ 凸包分治算法_三维凸包
缘起众所周知,二维凸包可以使用 Graham 扫描内解决. 所以本文来学习一下三维空间中凸包的一种直观算法--增量算法(increment algorithm) 分析有一条叫 Willy 的苹果 ...
分治法在求解凸包问题中的应用（JAVA）--快包算法
分治法在求解凸包问题中的应用(JAVA) 之前写过一篇蛮力法在求解凸包问题中的应用(JAVA)还算简单易懂,没有基础的读者最好先去阅读以下. 这里用分治法来求解凸包问题,由于这个算法和快速排序十分相似 ...
算法学习笔记2：凸包及其解法
凸包及其解法凸包概念解法暴力解法判断方向分治点到直线距离 Jarvis步进法 Graham扫描法 Andrew算法凸包概念在一个实数向量空间V中,对于给定集合X,所有包含X的凸集的交集 ...
上凸包和下凸包_使用凸包聚类
上凸包和下凸包 I recently came across the article titled High-dimensional data clustering by using local af ...

凸包问题的gift-wrapped算法