【高数】欧拉公式之美

如何通俗易懂地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”

1、从自然数扩张到整数：增加的负数对应着“负债，减少”

2、从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”

3、从有理数扩张到无理数：增加的无理数可以对应“三角形的对角线的长度”

4、从无理数扩张到复数：增加的虚数对应任何实数的旋转状态

（虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。）

1、在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

2、复平面上乘法的几何意义

3、对同一个点不同的描述方式

4、为什么是圆周运动？

这是实数域上的定义，可以推广到复数域根据之前对复数乘法的描述，乘上是进行伸缩和旋转运动，取值不同，伸缩和旋转的幅度不同

从图上可以推出时，在单位圆上转动了1弧度。

再来看看，这个应该是在单位圆上转动弧度：

的几何含义是什么？

看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动弧度。

欧拉公式与三角函数

根据欧拉公式,可以轻易推出：

和。三角函数定义域被扩大到了复数域。

我们把复数当作向量来看待，复数的实部是方向，虚部是方向，很容易观察出其几何意义。

欧拉恒等式

当的时候，代入欧拉公式：

就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好

1、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ)
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β))
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
2、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3+ 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

4、复数的定义既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

5、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) =(-1)如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

图1：

图2：

图3（三个函数图）

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