RSA算法以及其破解方法

2024-05-13 20:11:00

对称秘钥加密存在的问题以及公开秘钥加密的诞生

上两篇提到的铁栅栏和希尔算法都属于对称加密算法，即同一个秘钥既用于加密数据，又用来解密数据，其就造成了一个结果：加密秘钥可以被公开，这就造成了一个最为严重的问题——如何安全地分发秘钥，要是秘钥被分发或者截获至非法用户手中，这组加密秘钥的安全性便不再被保证，既有可能被随意破解，又有可能被伪造发送。为了解决这个问题，公开密钥加密方法被开发出来。

公开密钥加密系统的原理

公开密钥加密系统基于单向陷门函数。“单向”的意思是指该函数从一个方向计算十分容易，但要从另一个方向反推便十分困难（困难到计算机都难以计算）。此特性确保了攻击者不能使用公开的信息恢复出秘钥的信息。举个例子，因式分解便是一个单向函数——生成两个素数p、q并计算他们的乘积N很容易，但是要是给定足够大的数值N，要找到他的因子p和q就十分困难，因此我们就可以根据因式分解构建陷门，也就是我们下面要介绍的RSA算法。

RSA算法

名字由来

RSA加密系统的名字来源于三个公认的发明者：Rivest、Shamir、Adleman。

加密解密过程（运作方式）

选择两大素数p、q，并计算出他们的乘积N=pq
选择与乘积(p-1)(q-1)互素的数e
计算出数e的模(p-1)(q-1)的乘法逆元素d
上述得到的数值满足公式——ed = 1 mod (p-1)(q-1)
最后得到的密钥对：

公钥：（N，e）

秘钥：d
通过求幂模运算进行加密解密，设明文文本为M，密文文本为C

加密：C=MemodNC=M^e mod NC=MemodN

解密：M=CdmodNM=C^d mod NM=CdmodN

在这里先给自己挖个坑，后续再来详细介绍RSA加密体质的有效性，今天实在是没有时间了

共模攻击

我们可以获取到同一个明文m的经过两个公钥e1,e2加密的密文c1,c2,并且有

c1=pow(m,e1,n);c2=pow(m,e2,n)

那么，若e1,e2互素，由扩展欧几里得算法，存在e1s1+e2s2==1。

我们就可以求m≡m^{(e1*s1+e2*s2)≡(m}e1)^s1*(me2)^s2≡c1s1*c2^s2 mod n。

其中c1,c2已知，s1,s2可由欧几里得算法求出。

此理解转载自https://blog.csdn.net/baidu_36110484/article/details/106958538，后续自己的理解尽量这几天安排o(╥﹏╥)o

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