【模板】Miller-Rabin Pollar-Pho

Miller-Rabin

判断大素数的方法。

对于素数p，仅存在 x = 1 , p − 1 x=1,p-1 x=1,p−1，使得 x 2 ≡ 1 ( m o d p ) x^2\equiv 1\pmod p x2≡1(modp)。

任取前几小的素数(通常前10小的素数) q q q，进行二次探测：

首先满足欧拉定理 q p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) q^{p-1}\equiv 1\pmod p qp−1≡1(modp)
求出 t , s t,s t,s满足 p − 1 = 2 s t p-1=2^st p−1=2st，且 t t t为奇数
由 q t q^t qt逐步平方若 q 2 t ≡ 1 ( m o d p ) q^{2t}\equiv 1\pmod p q2t≡1(modp)且 q t q^t qt不是 1 , p − 1 1,p-1 1,p−1，则 p p p非奇数

通过二次探测的数很大概率上为素数。

Pollar-Pho

快速分解 n n n的所有质因子的方法：

每次找出一个 n n n的一个约数：

任取 x ∈ [ 0 , n ) x\in [0,n) x∈[0,n)，设变化为 f ( x ) = ( x 2 + c ) % n , c f(x)=(x^2+c)\% n,c f(x)=(x2+c)%n,c为 [ 0 , n ) [0,n) [0,n)中任意取定的常数(+c是因为怕 x 2 x^2 x2不停走自环)，显然最后图形要么是个环，要么是个Pho形。
若存在 n n n的某个约数 a ( a > 1 ) a(a>1) a(a>1)，考虑在大环上存在小环使得 x i ≠ x j ( m o d n ) , i < j x_i\neq x_j \pmod n,i<j xi̸=xj(modn),i<j，且 x i ≡ x j ( m o d a ) x_i\equiv x_j\pmod a xi≡xj(moda)，则 a ∣ ( ∣ x i − x j ∣ ) a|(|x_i-x_j|) a∣(∣xi−xj∣)，由因为 a ∣ n a|n a∣n，所以 a ∣ gcd ⁡ ( n , ∣ x i − x j ∣ ) a|\gcd(n,|x_i-x_j|) a∣gcd(n,∣xi−xj∣)，故若 gcd ⁡ ( n , ∣ x i − x j ∣ ) > 1 \gcd(n,|x_i-x_j|)>1 gcd(n,∣xi−xj∣)>1则找到了一个约数，可以递归分解下去

考虑倍增枚举大环，每次在 2 k 2^k 2k步上找约数，复杂度分析分析是 O ( 4 n log ⁡ n ) O(^4\sqrt n\log n) O(4n logn)的

代码

传送门:bzoj3667

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;int tk;
ll n,mxn;const int p[12]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};inline ll rnd(){return ((ll)rand()<<15)+rand();}inline ll mul(ll x,ll y,ll p)
{ll d=x*y-(ll)((long double)x/p*y)*p;return d<0?d+p:d;
}inline ll gcd(ll x,ll y){return (!y)?x:gcd(y,x%y);}inline ll fp(ll x,ll y,ll p)
{ll re=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x,p))if(y&1) re=mul(re,x,p);return re;
}inline ll pollar_rho(ll c,ll n)
{ll g,x=rnd()%n,y=x,k=2;for(ll i=1;;++i){x=(mul(x,x,n)+c)%n;g=gcd(abs(x-y),n);if(g!=1) return g;if(i==k) y=x,k<<=1;}
}inline bool ck(int p,ll r,ll s,ll n)
{ll x=fp(p,r,n),y=x,i;for(i=0;i<s;++i,y=x){x=mul(x,x,n);if(x==1)return (y==1 || y==n-1);}return (x==1);
}inline bool miller_rabin(ll n)
{if(n<2) return false;int i;ll r=n-1,s=0;for(;!(r&1);r>>=1) s++;for(i=0;i<10;++i){if(n==p[i]) return true;if(!ck(p[i],r,s,n)) return false;}return true;
}void fd(ll n)
{if(n==1 || n<=mxn) return;if(miller_rabin(n)) {mxn=n;return;}ll g=pollar_rho(rnd()%n,n);for(;g==n;g=pollar_rho(rnd()%n,n));fd(g);fd(n/g);
} int main(){for(scanf("%d",&tk);tk;--tk){scanf("%lld",&n);mxn=0;fd(n);if(mxn==n) puts("Prime");else printf("%lld\n",mxn);}return 0;
}

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1 #include<iostream> //该程序为哥德巴赫猜(想输出所有的组合) 2 #include<cmath> 3 #include<cstdlib> 4 ...

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