第六章差分方程与代数方程模型

离散时间点描述研究对象的动态变化。实际问题本身以离散形式出现，建立差分方程模型可解决一些实际问题，如研究对象随离散时间的变化规律。

而不考虑时间因素做静态问题处理时，可以建立代数方程模型。

两个模型求解过程（矩阵、向量的数学表达形式）类似，结合学习。

基础知识：差分方程的类型、求解及稳定性

1.贷款问题 |等额本息贷款、等额本金贷款

等额本息贷款

等额本息贷款：每月归还的本息金额相同

建模

每月还款金额为a，贷款总额为x₀，月利率为r，第k月还款后尚欠金额为x_k，贷款期限为n，则
xk=xk−1(r+1)−a,k=1,2,⋅⋅⋅,nx_k=x_{k-1}(r+1)-a,k=1,2,···,n xk=xk−1(r+1)−a,k=1,2,⋅⋅⋅,n
递推得
xn=x0(1+r)n−a(1+r)n−1rxn=0x_n=x_0(1+r)^n-a{{(1+r)^n-1}\over r} \\x_n=0 xn=x0(1+r)n−ar(1+r)n−1xn=0

等额本金贷款

每月归还同等数额的本金，加上所欠本金的总利息

同样有差分方程
xk=xk−1−x0rn,k=2,3,⋅⋅⋅,nxk=x0n+x0(1−k−1n)r,k=1,2,⋅⋅⋅,nx_k=x_{k-1}-{x_0r\over n},k=2,3,···,n\\x_k={x_0\over n}+x_0(1-{{k-1}\over n})r,k=1,2,···,n xk=xk−1−nx0r,k=2,3,⋅⋅⋅,nxk=nx0+x0(1−nk−1)r,k=1,2,⋅⋅⋅,n
比较两种方式有结论：等额本金还款总额小于等额本息还款

2.物价波动

设第k个时段商品数量为x_k，价格为y_k

按照经济规律，k时段的价格与消费者当前需求决定；k时段的商品数量由上一时段的价格决定。

价格与商品数量在平衡值上下波动，价格与商品数量的偏离值成(正\反)比关系

有差分方程组
yk−y0=−α(xk−x0),k=1,2⋅⋅⋅，xk+1−x0=β(yk−y0),k=1,2⋅⋅⋅，y_k-y_0=-α(x_k-x_0),k=1,2···，\\x_{k+1}-x_0=β(y_k-y_0),k=1,2···， yk−y0=−α(xk−x0),k=1,2⋅⋅⋅，xk+1−x0=β(yk−y0),k=1,2⋅⋅⋅，
可以递推解出方程
xk+1−x0=−(αβ)k(x1−x0)x_{k+1}-x_0=-(αβ)^k(x_1-x_0) xk+1−x0=−(αβ)k(x1−x0)
比例系数α和β可以得到进一步解释：α反应消费者需求的敏感程度；β反应生产者对价格的敏感程度。

3. Leslie模型

按年龄分组的种群增长模型

模型假设

按年龄大小等间隔地分为n个年龄组；与之相对应的，将时间也分成年龄组区间大小相等的时段。
繁殖率与死亡率不随时段变化，与年龄组有关

模型建立

x_i(k)：第i个年龄组第k个时段的种群数量

b_i：第i个年龄组的繁殖率

d_i：第i个年龄组的死亡率，则s_i=1-d_i为存活率

第一个年龄组的k+1时段的数量是各个年龄组第k个时段的繁殖数量之和
x1(k+1)=∑i=1nbixi(k),k=0,1,2⋅⋅⋅x_1(k+1)=\sum_{i=1}^n{b_ix_i(k)},\ k=0,1,2··· x1(k+1)=i=1∑nbixi(k), k=0,1,2⋅⋅⋅
k时段的i年龄组在k+1时段演变成i+1年龄组
xi+1(k+1)=sixi(k)x_{i+1}(k+1)=s_ix_i(k) xi+1(k+1)=sixi(k)
上述两式构成种群增长模型

矩阵分布形式
x(k)=[x1(k)x2(k)x3(k)⋯xn(k)]T\mathbf x(k)=\begin{bmatrix} x_1(k) & x_2(k) & x_3(k) & \cdots&x_n(k) \end{bmatrix}^T x(k)=[x1(k)x2(k)x3(k)⋯xn(k)]T
繁殖率与存活率形成如下矩阵
L=[b1b2⋯bn−1bns10⋯000s2⋯00⋮⋮⋮⋮00⋯sn−10]\mathbf L= \begin{bmatrix} b_1&b_2&\cdots&b_{n-1}&b_n\\ s_1&0&\cdots&0&0\\ 0&s_2&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&s_{n-1}&0 \end{bmatrix} L=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡b1s10⋮0b20s2⋮0⋯⋯⋯ ⋯bn−100⋮sn−1bn00⋮0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
增长模型可以简洁表示为矩阵向量形式
x(k+1)=Lx(k)x(k)=Lkx(0)\mathbf x(k+1)=\mathbf {Lx}(k)\\\mathbf x(k)=\mathbf {L^kx}(0) x(k+1)=Lx(k)x(k)=Lkx(0)
L矩阵称为Leslie矩阵，上述矩阵等式称为Leslie模型

饲养动物种群的持续稳定模型

h_i：第i年龄组种群收获系数，表示收获量占总量的比例。持续稳定收获，增长量等于收获量
xi(k+1)−xi(k)=hixi(k+1)x_i(k+1)-x_i(k)=h_ix_i(k+1) xi(k+1)−xi(k)=hixi(k+1)
h_i的对角矩阵
H=[h10⋯00h1⋯0⋮⋮⋮00⋯hn]\mathbf H=\begin{bmatrix} h_1&0&\cdots&0\\ 0&h_1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&h_n \end{bmatrix} H=⎣⎢⎢⎢⎡h10⋮00h1⋮0⋯⋯⋯00⋮hn⎦⎥⎥⎥⎤
矩阵向量形式
x(k+1)−x(k)=Hx(k+1)\mathbf {x(k+1)-x(k)=Hx(k+1)} x(k+1)−x(k)=Hx(k+1)
进一步化为
Lx(k)−x(k)=HLx(k)x=(L−HL)x=L′x\mathbf{Lx(k)-x(k)=HLx(k)}\\ \mathbf{x=(L-HL)x=L'x} Lx(k)−x(k)=HLx(k)x=(L−HL)x=L′x
得到持续收获的条件

4. Logistic模型|离散形式差分方程

信息传播

记总人数为N，第k天已获知信息的人数为p_k，传播率为c（类比SI模型）

可以得到差分方程
pk+1−pk=cpk(N−pk)p_{k+1}-p_k=cp_k(N-p_k) pk+1−pk=cpk(N−pk)
如果考虑认为干预，被制止传播谣言的人不在听信，可以理解为退出信息系统(SIR模型)

设干预的比例常数为a，第k天退出系统的人数为q_k
qk+1−qk=apkpk+1−pk=cpk(N−qk−pk)−apkq_{k+1}-q_k=ap_k\\p_{k+1}-p_k=cp_k(N-q_k-p_k)-ap_k qk+1−qk=apkpk+1−pk=cpk(N−qk−pk)−apk

5.量纲分析法 |量纲齐次原则

量纲齐次原则

π定理

设m个有量量纲的物理量q_m，之间存在与量纲单位选取无关的物理定律，数学上表示为
f(q1,q2,⋅⋅⋅,qm)=0f(q_1,q_2,···,q_m)=0 f(q1,q2,⋅⋅⋅,qm)=0
若基本量纲记作X_n，q_m的量纲可表示为
[qj]=∏i=1nXiaij,j=1,⋅⋅⋅,m[q_j]=\prod^n_{i=1}{X}_i^{a_{ij}},j=1,···,m [qj]=i=1∏nXiaij,j=1,⋅⋅⋅,m
设矩阵A为量纲矩阵
A=(aij)n×mA=(a_{ij})_{n×m} A=(aij)n×m
若A的秩
RankA=rRank\ A=r Rank A=r
设齐次线性方程组
AY=0,Y=(y1,y2,⋅⋅⋅,ym)TAY=0,Y=(y_1,y_2,···,y_m)^T AY=0,Y=(y1,y2,⋅⋅⋅,ym)T
它的m-r个基本解记为
y(s)=(y1(s),y2(s),⋅⋅⋅,ym(s))T,s=1,2,⋅⋅⋅,m−ry^{(s)}=({y}_1^{(s)},{y}_2^{(s)},···,{y}_m^{(s)})^T,s=1,2,···,m-r y(s)=(y1(s),y2(s),⋅⋅⋅,ym(s))T,s=1,2,⋅⋅⋅,m−r
则存在m-r个互相独立的无量量纲
πs=∏j=1mqjyj(s),s=1,2,⋅⋅⋅,m−rπ_s=\prod^m_{j=1}q_j^{y_j^{(s)}},s=1,2,···,m-r πs=j=1∏mqjyj(s),s=1,2,⋅⋅⋅,m−r
且有
F(π1,π2,⋅⋅⋅,πm−r)=0F(π_1,π_2,···,π_{m-r})=0 F(π1,π2,⋅⋅⋅,πm−r)=0
F为待定函数

结合实例容易理解

例：原子弹能量估计

量纲分析的局限性

一些物理公式常常含有的三角函数、指数函数等是不能用量纲分析所得到的，因为这些函数的自变量和因变量都是无量纲的

6. CT技术图像重建|代数模型

数学原理

根据X射线入射与出射的光线强度的衰减，得到各个断面对X射线的衰减系数，进一步推算得到反映人体器官和组织的大小、形状、密度的图像，即图像重建。

设衰减系数为μ，由于光线入射到不同位置时，某一平面的衰减系数是不同的，若在该平面构建xy坐标系，可以得到u(x,y)函数，当射线沿直线L穿行时，光强与衰减系数遵循如下规律：
I=I0e−∫Lμ(x,y)dl∫Lμ(x,y)dl=lnI0II=I_0e^{-\int_Lμ(x,y)dl} \\\int_Lμ(x,y)dl=ln{I_0\over I} I=I0e−∫Lμ(x,y)dl∫Lμ(x,y)dl=lnII0

代数模型

将待测平面图形分成若干小正方形，称为像素。

设有m个像素（记j=1,2,···,m），n束射线（记i=1,2,···,n），第i束射线记作L_i
∑j∈J(Li)μjΔlj=lnI0I\sum_{j∈J(L_i)}μ_jΔl_j=ln{I_0\over I} j∈J(Li)∑μjΔlj=lnII0
Δl为射线在像素穿行的长度，J表示射线束穿过像素的集合

求解方法：矩阵向量的数学表示形式（中心线法、面积法、中心法），构成代数方程AX=b