文章目录

1. 解析函数的概念
- 1.1 复变函数的导数与微分
- 1.2 解析函数
- 1.3 柯西-黎曼方程
- - 1.3.1 函数解析的参数关系[3]
2. 解析函数与调和函数的关系
- 2.1 调和函数
- 2.2 共轭调和函数
- - 2.2.1 求以调和函数u为实部的解析函数[4]
3. 初等函数
- 3.1 指数函数
- 3.2 对数函数
- 3.3 幂函数
- 3.4 三角函数

1. 解析函数的概念

1.1 复变函数的导数与微分

定义
若f(z)在z0z_0z0处可导，则极限值称为f(z)的导数
f′(z)=dwdz∣z=z0=lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z)0Δzf'(z)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}=\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z)_0}{\Delta z} f′(z)=dzdw∣z=z0=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z)0
函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在点z0z_0z0的微分记作：
dw=f′(z)dzdw = f'(z)dz dw=f′(z)dz

1.2 解析函数

定义
如果函数f(z)在z0z_0z0点以及z0z_0z0点的领域内处处可导，则称f(z)在z0z_0z0点解析
如果f(z)在区域D内的每一点解析，则称f(z)在区域D内解析

可导与解析关系
① 点可导不能推出点解析，点解析可以推出点可导
② 区域可导等效于区域解析

奇点
若f(z)在z0z_0z0点不解析，则z0z_0z0为f(z)的奇点

性质
（1）在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、乘、除在D内解析
（2）若函数g(z)在区域D内解析，函数f(z)在区域G内解析，当D内的没一点z，g(z)值都属于G，则w=f[g(z)]w=f[g(z)]w=f[g(z)]在D内解析

1.3 柯西-黎曼方程

点可导的充要条件
函数w=u(x,y)+iv(x,y)w=u(x,y)+iv(x,y)w=u(x,y)+iv(x,y)在点z处可导的充要条件：
∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂xux′=vy′,uy′=−vx′\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \\ u_x'=v_y',u_y'=-v_x' ∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂vux′=vy′,uy′=−vx′

区域解析的充要条件
函数w=u(x,y)+iv(x,y)w=u(x,y)+iv(x,y)w=u(x,y)+iv(x,y)，u(x,y)u(x,y)u(x,y)和v(x,y)v(x,y)v(x,y)可微，且满足C-R方程

实部与虚部
解析函数的实部（虚部）一旦给定，则虚部（实部）只能相差一个常数

1.3.1 函数解析的参数关系[3]

分别列出实函数与虚函数，根据C-R方程求解对应参数的大小关系

2. 解析函数与调和函数的关系

2.1 调和函数

定义
若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则u(x,y)和v(x,y)在区域D内都是调和函数
∂2u∂2x+∂2u∂2y=∂2v∂x∂y−∂2v∂x∂y=0∂2v∂2x+∂2v∂2y=∂2u∂x∂y−∂2u∂x∂y=0\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 u}{\partial^2 y} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} =0 \\ \frac{\partial^2 v}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 v}{\partial^2 y} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =0 ∂2x∂2u+∂2y∂2u=∂x∂y∂2v−∂x∂y∂2v=0∂2x∂2v+∂2y∂2v=∂x∂y∂2u−∂x∂y∂2u=0

2.2 共轭调和函数

定义
若u(x,y), v(x,y)均为D上的调和函数，且满足C-R方程，则v是u的共轭调和函数

定理
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件：区域D内，v是u的共轭调和函数

注意
v是u的共轭调和函数不等于 u是v的共轭调和函数
理解：u(x,y)+iv(x,y)解析不代表v(x,y)+iu(x,y)在区域D内解析

2.2.1 求以调和函数u为实部的解析函数[4]

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析，则v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数。根据C-R方程，确定v(x,y)并根据确定函数值求解f(z)
ux′=vy′,uy′=−vx′u_x'=v_y',u_y'=-v_x' ux′=vy′,uy′=−vx′

注意：
积分时0项的变换。
（1）对v(x,y)积分时
对dy积分，则0项将变换为ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)，对dx积分，0项将变换为ϕ(y)\phi(y)ϕ(y)
（v(x,y)是由变量x,y共同决定）
（2）对ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)积分时
0项变换为常数C（ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)仅有x变量决定，与y变量无关）

3. 初等函数

3.1 指数函数

定义
w=ez=ex+iy=ex⋅eiyw = e^z=e^{x+iy}=e^x \cdot e^{iy} w=ez=ex+iy=ex⋅eiy
映射关系
指数函数w可以理解为，模长为exe^xex，辐角为y的复变函数
∣w∣=exArgw=y|w| = e^x \\ Argw = y ∣w∣=exArgw=y
对于(x,y)可以映射到模长为exe^xex，辐角为y的向量

性质
（1）eze^zez是单值函数
（2）eze^zez是以2kπi2k\pi i2kπi为周期的周期函数
（3）eze^zez在复平面上处处解析

常见复数的指数形式

3.2 对数函数

定义
令z=reiθ,w=u+ivz=re^{i\theta}, w=u+ivz=reiθ,w=u+iv
w=Lnz=lnr+iθ=lnr+i(argz+2kπ){u=lnrv=θ=Argzw = Lnz = lnr + i\theta = lnr + i(argz + 2k\pi) \\ \begin{cases} u = lnr \\ v = \theta = Argz \end{cases} w=Lnz=lnr+iθ=lnr+i(argz+2kπ){u=lnrv=θ=Argz
由z模的对数得到实部u，z的辐角得到虚部v

性质
（1）对数函数为多值函数
w=Lnz=lnr+i(argz+2kπ)w = Lnz = lnr + i(argz + 2k\pi) w=Lnz=lnr+i(argz+2kπ)
主枝：Lnz=lnz+2kπi=lnr+i(argz+2kπ)Lnz=lnz+2k\pi i= lnr + i(argz + 2k\pi)Lnz=lnz+2kπi=lnr+i(argz+2kπ)
分支：对于某一固定的k，lnz+2k\pi i
（2）w=Lnzw = Lnzw=Lnz在原点无定义，定义域为z≠0z \neq 0z=0
（3）Lnz在原点及负实轴不连续

（4）Lnz在除去原点及负实轴的复平面解析

对于常见的复数，可以根据坐标系位置直接确定主辐角大小

3.3 幂函数

定义
w=zα=eαlnz=rαeiαθw=z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}=r^{\alpha}e^{i\alpha \theta} w=zα=eαlnz=rαeiαθ

3.4 三角函数

cosz=eiz+e−iz2sinz=eiz−e−iz2icosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \\ sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cosz=2eiz+e−izsinz=2ieiz−e−iz

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