时间序列的平稳性检验与随机性检验

1. 时间序列的定义

1.1 什么是时间序列

在统计研究中，常用按时间顺序排列的一组随机变量X1,X2,⋯ ,Xt,⋯X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { t } , \cdotsX1,X2,⋯,Xt,⋯来表示一个随机事件的时间序列，简记为{Xt,t∈T}\left\{ X _ { t } , t \in T \right\}{Xt,t∈T}或{Xt}\left\{ X _ { t } \right\}{Xt}。用x1,x2,⋯ ,xnx _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }x1,x2,⋯,xn或{xt,t=1,2,⋯ ,n}\left\{ x _ { t } , t = 1,2 , \cdots , n \right\}{xt,t=1,2,⋯,n}表示该序列的nnn个有序观测值。时间序列在我们的日常生活中比比皆是，比如一支股票每小时的价格、一个公司每月份的营业收入等等。

1.2 时间序列分析方法

对于时间序列的分析方法一般可以分为两种，即描述性时序分析和统计时序分析，描述性时序分析指的是通过可视化的形式观察时间序列的趋势，从中发现规律，而统计时序分析则表示通过一些统计学的方法来研究时间序列中的规律。统计时序分析又可以分为频域分析方法和时域分析方法，其中，频域分析方法假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动，从频率的角度来揭示时间序列的规律；而时域分析方法则从序列的自相关角度来揭示时间序列的规律，该方法假设序列值之间存在一定的相关关系，而这种相关关系具有一定的规律，通过模型来拟合这种规律，并利用模型来对预测未来的趋势进行预测。

2. 时间序列的平稳性、随机性检验

对于一个时间序列，在进行建模之前，首先需要进行平稳性检验和纯随机性检验，然后根据检验的结果再选择适合的模型。在讲解平稳性和随机性的定义之前，我们先介绍一下时间序列中常用的几个特征统计量。

2.1 时间序列的特征统计量

对于一个时间序列{Xt,t∈T}\left\{ X _ { t } , t \in T \right\}{Xt,t∈T}，任意时刻的序列值XtX _ { t }Xt都是一个随机变量，记其分布函数为Ft(x)F _ { t } ( x )Ft(x)，则其特征统计量均值、方差、自协方差函数、自相关系数的定义分别如下：

均值：表示时间序列在各个时刻取值的平均值，其定义如下：
μt=EXt=∫−∞∞xdFt(x)\mu _ { t } = E X _ { t } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x \mathrm { d } F _ { t } ( x ) μt=EXt=∫−∞∞xdFt(x)
方差：表示时间序列在各个时刻围绕其均值波动的平均程度，其定义如下：
σt2=DXt=E(Xt−μt)2=∫−∞∞(x−μt)2dFt(x)\sigma _ { t } ^ { 2 } = D X _ { t } = E \left( X _ { t } - \mu _ { t } \right) ^ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( x - \mu _ { t } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } F _ { t } ( x ) σt2=DXt=E(Xt−μt)2=∫−∞∞(x−μt)2dFt(x)
自协方差函数：表示时间序列任意两个时刻直接的相关性，任取t,s∈Tt , s \in Tt,s∈T，则其定义如下：
γ(t,s)=E[(Xt−μt)(Xs−μs)]\gamma ( t , s ) = E \left[ \left( X _ { t } - \mu _ { t } \right) \left( X _ { s } - \mu _ { s } \right) \right] γ(t,s)=E[(Xt−μt)(Xs−μs)]
自相关系数：同自协方差函数，其定义如下：
ρ(t,s)=γ(t,s)DXt⋅DXs\rho ( t , s ) = \frac { \gamma ( t , s ) } { \sqrt { D X _ { t } \cdot D X _ { s } } } ρ(t,s)=DXt⋅DXsγ(t,s)

2.2 平稳时间序列的定义与检验

2.2.1 平稳时间序列的定义

平稳时间序列按照限定条件的严格程度可以分为以下两种类型：

严平稳时间序列：指时间序列的所有统计性质不会随着时间的推移而发生变化，即其联合概率分布在任何时间间隔都是相同的。设{Xt}\left\{ X _ { t } \right\}{Xt}为一时间序列，对任意的正整数mmm，任取t1,t2,⋯ ,tm∈Tt _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { m } \in Tt1,t2,⋯,tm∈T，对任意整数τ\tauτ，有：
Ft1,t2,⋯ ,tm(x1,x2,⋯ ,xm)=Ft1+τ,t2+τ,⋯ ,tm+τ(x1,x2,⋯ ,xm)F _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { m } } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { m } \right) = F _ { t _ { 1 + \tau } , t _ { 2 + \tau } , \cdots , t _ { m + \tau } } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { m } \right) Ft1,t2,⋯,tm(x1,x2,⋯,xm)=Ft1+τ,t2+τ,⋯,tm+τ(x1,x2,⋯,xm)则称时间序列{Xt}\left\{ X _ { t } \right\}{Xt}为严平稳时间序列。
宽平稳时间序列：宽平稳时间序列则认为只要时间序列的低阶距（二阶）平稳，则该时间序列近似平稳。如果时间序列{Xt}\left\{ X _ { t } \right\}{Xt}满足以下三个条件：
- 任取t∈Tt \in Tt∈T，有EXt2<∞E X _ { t } ^ { 2 } < \inftyEXt2<∞；
- 任取t∈Tt \in Tt∈T，有EXt=μE X _ { t } = \muEXt=μ，其中μ\muμ为常数；
- 任取t,s,k∈Tt , s , k \in Tt,s,k∈T，k+s−t∈Tk + s - t \in Tk+s−t∈T，有γ(t,s)=γ(k,k+s−t)\gamma ( t , s ) = \gamma ( k , k + s - t )γ(t,s)=γ(k,k+s−t)

在现实生活中，时间序列是很难满足严平稳时间序列的要求的，因此，一般所讲的平稳时间序列在默认情况下都是指宽平稳时间序列。根据宽平稳时间序列的条件，我们可以容易得到宽平稳时间序列所具有的性质：

均值为常数，即：
EXt=μ,∀t∈TE X _ { t } = \mu , \quad \forall t \in T EXt=μ,∀t∈T
自协方差函数和自相关系数只依赖于时间的平移长度，而与时间的起点无关。即：
γ(t,s)=γ(k,k+s−t),∀t,s,k∈T\gamma ( t , s ) = \gamma ( k , k + s - t ) , \quad \forall t , s , k \in T γ(t,s)=γ(k,k+s−t),∀t,s,k∈T因此，可以记γ(k)\gamma ( k )γ(k)为时间序列{Xt}\left\{ X _ { t } \right\}{Xt}的延迟kkk自协方差函数。
方差也为均值，即：
DXt=γ(t,t)=γ(0),∀t∈TD X _ { t } = \gamma ( t , t ) = \gamma ( 0 ) , \quad \forall t \in T DXt=γ(t,t)=γ(0),∀t∈T

由于平稳时间序列具有这些优良性质，因此，对于一个平稳时间序列来说，其待估计的参数量就变得少了很多，因为他们的均值、方差都是一样的，因此，可以利用全部的样本来估计总体的均值和方差，即：
μ^=x‾=∑i=1nxinγ^(0)=∑t=1n(xt−x‾)2n−1\widehat { \mu } = \overline { x } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } { n } \\ \widehat { \gamma } ( 0 ) = \frac { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \left( x _ { t } - \overline { x } \right) ^ { 2 } } { n - 1 } μ=x=n∑i=1nxiγ(0)=n−1∑t=1n(xt−x)2这也是为什么说当拿到一个时间序列后，需要对其进行平稳性检验。

2.2.2 平稳时间序列的检验

那么，当拿到一个时间序列后，应该如何对其进行平稳性的检验呢？目前，对时间序列的平稳性检验主要有两种方法，一种是图检法，即根据时序图和自相关图进行直观判断，另一种是构造检验统计量的方法，目前主要有单位根检验法。
对于图检法，我们一般绘制时间序列的时序图，如下图所示，如果时间序列是平稳的，那么序列应该是围绕某一个均值上下随机波动，而下图中的序列明显具有一定的增长趋势，因此，可以断定该序列肯定不是平稳时间序列。

另一方面，我们也可以通过自相关图来进行检验，对于平稳时间序列，其自相关图一般随着阶数的递增，自相关系统会迅速衰减至0附近，而非平稳时间序列则可能存在先减后增或者周期性波动等变动。如下图所示，该时间序列随着阶数的递增，自相关系数先减后增，因此，可以判断该时间序列不是平稳时间序列。

2.3 随机性时间序列的定义与检验

2.3.1 随机性时间序列的定义

通过对时间序列进行平稳性检验后，我们可以将时间序列分为平稳时间序列和非平稳时间序列，对于非平稳时间序列，一般需要将其转化为平稳时间序列再进行分析，具体的转化方法随后再讲。而对于平稳时间序列，我们知道其有一个性质，即自协方差函数和自相关系数只依赖于时间间隔，而与起点无关，对于相同的时间间隔，其自协方差函数和自相关系数为一个常数，那么，就存在一种情况，当该常数为0时，照样满足平衡时间序列的条件，而此时序列之间的相关性则为0，即序列之间不相关，那么，这时我们的分析即可结束，因为对于一个毫无相关的序列，我们没法从中挖掘出可用的规律，此时的序列即为随机性时间序列，也称为白噪声序列。
对于时间序列{Xt}\left\{ X _ { t } \right\}{Xt}，如果满足：

任取t∈Tt \in Tt∈T，有EXt=μE X _ { t } = \muEXt=μ；
任取t,s∈Tt , s \in Tt,s∈T，有
γ(t,s)={σ2,t=s0,t≠s\gamma ( t , s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } , } & { t = s } \\ { 0 , } & { t \neq s } \end{array} \right. γ(t,s)={σ2,0,t=st̸=s

则称该时间序列为纯随机序列或白噪声序列，简记为Xt∼WN(μ,σ2)X _ { t } \sim W N \left( \mu , \sigma ^ { 2 } \right)Xt∼WN(μ,σ2)。我们可以发现，其实白噪声序列的性质与平稳时间序列的性质一样，其均值和方差均为常数，只是自协方差函数或自相关系数为0，因此，该序列的任何两项之间不存在相关性，无法从中得到任何有用的信息，此时分析可以停止。

2.3.2 纯随机性检验

对于纯随机性序列，一般通过构建统计量的方法来检验。我们知道，白噪声序列除了0阶自相关系数外，即方差，其他阶的自相关系数应该均为0，因此，我们可以提出下面这样一个假设：
H0:ρ1=ρ2=⋯=ρm=0,∀m⩾1H1:至少存在某个ρk≠0,∀m⩾1,k⩽mH _ { 0 } : \rho _ { 1 } = \rho _ { 2 } = \cdots = \rho _ { m } = 0 , \quad \forall m \geqslant 1\\ H _ { 1 } :至少存在某个\rho _ { k } \neq 0 , \quad \forall m \geqslant 1 , k \leqslant m H0:ρ1=ρ2=⋯=ρm=0,∀m⩾1H1:至少存在某个ρk̸=0,∀m⩾1,k⩽m因此，围绕该假设，我们可以构建统计量进行检验，常用的统计量有Q统计量和LB统计量，其计算公式分别如下：
Q=n∑k=1mρ^k2LB=n(n+2)∑k=1m(ρ^k2n−k)Q = n \sum _ { k = 1 } ^ { m } \widehat { \rho } _ { k } ^ { 2 }\\L B = n ( n + 2 ) \sum _ { k = 1 } ^ { m } \left( \frac { \widehat { \rho } _ { k } ^ { 2 } } { n - k } \right) Q=nk=1∑mρk2LB=n(n+2)k=1∑m(n−kρk2)其中，nnn为序列的观察期数，mmm为指定延迟期数，kkk为延迟阶数，Box和Pierce证明这两个统计量均服从自由度为mmm的卡方分布，当统计量大于χ1−α2(m)\chi _ { 1 - \alpha } ^ { 2 } ( m )χ1−α2(m)或者P值小于α\alphaα时，则认为可以拒绝原假设，即认为该序列是非随机序列。