哈密尔顿路径问题解析

问题描述

哈密尔顿路径属于旅行商问题，是一个NP完全问题，即没有一个合适的算法来解决它，只能用朴素算法(也就是通常所说的暴力算法)去进行优化。
但这类问题的时间复杂度是极其可怕的O(n!)，当n比较小的时候，还可以通过暴力法解决，但当n=15的时候，15!=1307674368000;已经达到了万亿级别；你可以想象下就算以计算机的计算能力，也要跑多久才能解出答案；
所以NP问题最常用的解法是近似解，即无解，寻找大概率出现的近似解；

Hamilton路径的定义：在一张图中，从点0到点n-1不重不漏的恰好经过每一个点一次的路径。

问题分析

但哈密尔顿路径有一个特点：当你计算了其中i条路径的组合之后，计算i+1条的时候，是会重复计算前面已经计算过的值；
如何利用起来已经计算过的值，减少重复计算的步骤，这是一个优化算法的切入点；
因此状态机数据结构出来了；
我们知道有n条路径，那么每条路径都有两种状态：已经走过和没走过；那分别用0|1来表示；
那么当你处于某个路径的终点的时候，并走过了i条路径，你有多少种状态呢，还是一个阶乘i！，但是你可以发现有个规律，这些阶乘有共同重复的点；是不是可以用矩阵来表示呢，所以完整表示这些状态不仅需要2n次方的状态来表示路径是否走过，还需要一个二维深度去存储这些路径的组合状态，索性，我们只需要最短路径，但是怎么去表示呢？
试想下
前提条件：最短，所以我们处于某条路径上，前面走过的路径也肯定是那条路径为终点的最短路径；
目前我们已经走完了i条路径，但我们并不知道处于哪条路径的终点，那有多少情况呢，i种；
因为只有i条路径已经走过了啊；那么对于n条路径
，那么只需要n深度的矩阵就可以了；
所以我们需要一个二维的深度去表示每条路径；
那么状态机就是f[2次方][n];
那怎么把这个矩阵给计算出来呢？

解法分析

假设我们现在还是处于第i条路径上，并且走过了前i条；所以用顺序表示f的行为00001(i)11…111；
那么有几条路能够走到i呢，肯定只有前面已经状态为1的几条；
而状态机里存储的就是那条路径当时的最短路径，遍历这几条路径就可以得出此时这个状态下的最短路径；
那么
i >> k & 1表示路径已走过，且不是i的路径；

                for(int k = 0; k < n; ++k) {if(i >> k & 1) {dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i ^ 1 << j][k] + weight[k][j]);}}

当处于起点的时候，所有的路径都还没走过，所以第一行只有一个值，就是最开始起点的路径；

代码

for(let i = 1; i < i<<n; i++) {for(let j = 0; j < n; j++) {// 每一轮只求jif(i & (1 << j)) {for(let k = 0; k < n; k++) {// j 不等于k, k已被开启、j未被开启的情况存在, k、j之间if((i >> k & 1)) {let value = dp[i - (1 << j)][k] + raod[k][j]// 谁小我就从谁过来if((dp[i][j] === -1) || (value < dp[i][j])) dp[i][j] = value}}}}}