Description

N,M<=10^15

Solution

首先需要知道一个结论，若n%k+m%k≥kn%k+m%k≥kn \% k+m \% k\geq k ，则⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1\lfloor\frac{n+m}{k}\rfloor-\lfloor\frac{n}{k}\rfloor-\lfloor\frac{m}{k}\rfloor=1
证明如下：
显然可以设n=a1k+r1n=a1k+r1n=a_1k+r_1，m=a2k+r2m=a2k+r2m=a_2k+r_2，那么⌊n+mk⌋=a1+a2+1⌊n+mk⌋=a1+a2+1\lfloor\frac{n+m}{k}\rfloor=a_1+a_2+1，⌊nk⌋=a1⌊nk⌋=a1\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=a_1，⌊mk⌋=a2⌊mk⌋=a2\lfloor\frac{m}{k}\rfloor=a_2
因为r1+r2≥kr1+r2≥kr_1+r_2\geq k因此⌊r1+r2k⌋=1⌊r1+r2k⌋=1\lfloor\frac{r_1+r_2}{k}\rfloor=1

现在令t=∑n%k+m%k≥kφ(k)t=∑n%k+m%k≥kφ(k)t=\sum_{n\%k+m\%k\geq k}\varphi(k)，显然答案就是φ(n)∗φ(m)∗tφ(n)∗φ(m)∗t\varphi(n)*\varphi(m)*t
那么有t=∑n%k+m%k≥kφ(k)=∑n+mk=1φ(k)[⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1]t=∑n%k+m%k≥kφ(k)=∑k=1n+mφ(k)[⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1]t=\sum_{n\%k+m\%k\geq k}\varphi(k)=\sum_{k=1}^{n+m}\varphi(k)[\lfloor\frac{n+m}{k}\rfloor-\lfloor\frac{n}{k}\rfloor-\lfloor\frac{m}{k}\rfloor=1]
我们发现后面那一坨布尔表达式不为0就为1，那么有t=∑n+mk=1φ(k)(⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋)t=∑k=1n+mφ(k)(⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋)t=\sum_{k=1}^{n+m}\varphi(k)(\lfloor\frac{n+m}{k}\rfloor-\lfloor\frac{n}{k}\rfloor-\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)，可以感受一下区别
那么拆一下就成了t=∑n+mk=1φ(k)⌊n+mk⌋−∑nk=1φ(k)⌊nk⌋−∑mk=1φ(k)⌊mk⌋t=∑k=1n+mφ(k)⌊n+mk⌋−∑k=1nφ(k)⌊nk⌋−∑k=1mφ(k)⌊mk⌋t=\sum_{k=1}^{n+m}\varphi(k)\lfloor\frac{n+m}{k}\rfloor-\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor-\sum_{k=1}^{m}\varphi(k)\lfloor\frac{m}{k}\rfloor

考虑一下∑nk=1φ(k)⌊nk⌋∑k=1nφ(k)⌊nk⌋\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor的意义，有∑nk=1φ(k)⌊nk⌋=∑nk=1∑⌊nk⌋i=1φ(k)=∑ni=1∑k|iφ(k)=∑ni=1i∑k=1nφ(k)⌊nk⌋=∑k=1n∑i=1⌊nk⌋φ(k)=∑i=1n∑k|iφ(k)=∑i=1ni\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\varphi(k)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k|i}\varphi(k)=\sum_{i=1}^{n}i
辣莫t=12[(n+m)(n+m+1)−n(n+1)−m(m+1)]=nmt=12[(n+m)(n+m+1)−n(n+1)−m(m+1)]=nmt=\frac{1}{2}[(n+m)(n+m+1)-n(n+1)-m(m+1)]=nm
即ans=φ(n)∗φ(m)∗nmans=φ(n)∗φ(m)∗nmans=\varphi(n)*\varphi(m)*nm
惊喜不惊喜，意外不意外

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)typedef long long LL;
const int MOD=998244353;void cal(LL &ret,LL x) {ret=ret/x;ret=ret*(x-1);
}LL get_phi(LL n) {LL ret=n;for (LL i=2;i*i<=n;i++) {if (n%i) continue;cal(ret,i);while (n%i==0) n/=i;}if (n!=1) ret=(ret/n)*(n-1);return ret;
}int main(void) {LL n,m; scanf("%lld%lld",&n,&m);printf("%lld\n",n%MOD*m%MOD*(get_phi(m)%MOD)%MOD*(get_phi(n)%MOD)%MOD);return 0;
}

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