矩阵基变换和坐标变换

2024-06-16 18:28:19

矩阵基变换和坐标变换

基变换

设三维线性空间两组基{α1,α2,α3},{β1,β2,β3}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\},\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}{α1,α2,α3},{β1,β2,β3}（基向量均为列向量），不妨称前者为旧基，称后者为新基。
设可逆矩阵P=[p11p12p13p21p22p23p31p32p33]P=\left[\begin{matrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{matrix}\right]P=⎣⎡p11p21p31p12p22p32p13p23p33⎦⎤描述从旧基到新基的基变换：
{β1=p11∗α1+p12∗α2+p13∗α3β2=p21∗α1+p22∗α2+p23∗α3β3=p31∗α1+p32∗α2+p33∗α3\begin{cases} \beta_1=p_{11}*\alpha_1+p_{12}*\alpha_2+p_{13}*\alpha_3\\ \beta_2=p_{21}*\alpha_1+p_{22}*\alpha_2+p_{23}*\alpha_3\\ \beta_3=p_{31}*\alpha_1+p_{32}*\alpha_2+p_{33}*\alpha_3\\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧β1=p11∗α1+p12∗α2+p13∗α3β2=p21∗α1+p22∗α2+p23∗α3β3=p31∗α1+p32∗α2+p33∗α3
设由第一组基构成矩阵A；第二组基构成矩阵B
即有：B=APB=APB=AP
PPP称为基变换的过渡矩阵，它的逆是坐标变换矩阵。

坐标变换

设该三维空间下的某一向量在旧基{α1,α2,α3}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}{α1,α2,α3}中旧坐标为XXX，在新基{β1,β2,β3}\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}{β1,β2,β3}下的新坐标为X′X'X′，那么从旧坐标到新坐标的计算为：
AX=BX′↓AX=APX′↓X′=P−1X坐标变换公式\begin{aligned} AX&=BX'\\ &\downarrow\\ AX&=APX'\\ &\downarrow\\ X'&=P^{-1}X \qquad \text{坐标变换公式} \end{aligned}AXAXX′=BX′↓=APX′↓=P−1X坐标变换公式

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