学习笔记：用冲激函数的傅里叶变换求阶跃函数的傅里叶变换

自己学习，理解可能有误

根据傅里叶变换的微分性质

之前我认为可以这么计算u′(t)=δ(t),F[δ(t)]=1=jwX(jw)u'(t) = \delta(t), F[\delta(t)]=1=jwX(jw)u′(t)=δ(t),F[δ(t)]=1=jwX(jw) so F[u(t)]=X(jw)=1jwF[u(t)]=X(jw)=\frac{1}{jw}F[u(t)]=X(jw)=jw1
这是错的，4.31是从4.24推导来的，也就是傅里叶变换的合成式x(t)=12π∫−∞+∞X(jw)ejwdwx(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}X(jw)e^{jw}dwx(t)=2π1∫−∞+∞X(jw)ejwdw然后才能对x(t)求导。但是u(t)不满足绝对可积的条件，所以不能直接使用合成式，也就不能用求导性质。但是可以用傅里叶变换的积分性质。根据《Signals&Systems》：

又有：u(t)=∫−∞tδ(τ)dτu(t)=\int_{-\infin}^t\delta(\tau)d\tauu(t)=∫−∞tδ(τ)dτ
得到：
F[u(t)]=1jw+πδ(w)F[u(t)]=\frac{1}{jw}+\pi\delta(w)F[u(t)]=jw1+πδ(w)

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