傅立叶级数到傅立叶变换推导与理解

前言

在现实世界中，比如有一个较为复杂的函数f(x)f(x)f(x)，直接这个函数f(x)f(x)f(x)，非常复杂，而如果把它变成若干个简单的函数，分别计算这些简单的函数，这样一个复杂的函数就很容易求解。

那么傅里叶变换的含义主要的目的：就是将一个 f(x)f(x)f(x)
函数拆分成若干个a(x)a(x)a(x)子函数之和。比如f(x)=a1(x)+a2(x)+...+an(x)f(x) = a_1(x) + a_2(x) + ... + a_n(x)f(x)=a1(x)+a2(x)+...+an(x)，这里的a1(x)a_1(x)a1(x)、a2(x)a_2(x)a2(x)都是一些简单的函数。那么我们也就理解了傅里叶函数的意义，一个复杂的函数很难计算，如果能把它拆分成很多简单的子函数，分别计算子函数，然后再合起来，那么对待复杂的函数也不会害怕了。

所以傅里叶变换会在数字信号处理中会那么大放异彩，主要原因是，傅里叶函数不仅可以将复杂的信号函数f(x)f(x)f(x)拆分成很多子函数，而且这些子函数还有自己明确的物理意义。

级数与傅立叶级数

首先介绍一下级数的作用，如下图来自《高等数学下》，求一个圆的面积，那么采用切割规则的方法，逐渐逼近圆弧，切割次数的越大误差越小。当然你知道求圆的面积公式是啥样子了，然而在现实世界中，我们是没有现成的公式可以使用，就是采用这种逐步逼近的方式进行计算。

圆的面积S(x)=a1(x)+a2(x)+...+an(x)S(x) = a_1(x) + a_2(x) + ... + a_n(x)S(x)=a1(x)+a2(x)+...+an(x)，分成a1(x)a_1(x)a1(x)，a2(x)a_2(x)a2(x)，an(x)a_n(x)an(x)面积，这些面积都是规则的面积，可以很容易求出，然后逐步逼近到真实的圆面积。

那么理解了级数的作用后，可能还会讨论级数的收敛性质啥的，然而在工程中我们面对东西不是那么复杂和抽象，所以这个不用讨论。我们在幂级数中结合普通的现实生活，一个函数f(x)f(x)f(x)都是可以展开的，展开式如下：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+1n!f(n)(x0)(x−x0)nf(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + ... + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^nf(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+n!1f(n)(x0)(x−x0)n。

如果觉得把一个函数f(x)f(x)f(x)展开成幂级数这种形式，当然了，我们还可以对一个函数展开成三角函数的形式，那么这种展开形式就是傅里叶级数。傅里叶级数在信号处理里，是一个必不可少的工具，既然是工具那么就不会太难。

比如一个信号f(x)f(x)f(x)展开成A0+∑n=1∞Ansin(nωt+φn)A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}A_{n}sin(n{\omega}t + \varphi_n)A0+∑n=1∞Ansin(nωt+φn)
，那么对于这种展开，就成为傅里叶级数展开。通过三角变换公式，可以将该式子转为
f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}cos{nx} + b_{n}sin{nx})f(x)=2a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)

值得注意的是信号f(x)f(x)f(x)能够展开成这种形式的话，这个函数必须要是一个周期函数。查看如下图周期函数，是由这些函数
2sin(x)+0.2sin(10x)+0.1sin(100x)+0.01sin(1000x)2sin(x)+0.2sin(10x)+0.1sin(100x)+0.01sin(1000x)2sin(x)+0.2sin(10x)+0.1sin(100x)+0.01sin(1000x) 组合相加而成的。

上面的讨论，我们知道了一个周期函数f(x)f(x)f(x)能够通过傅里叶级数展开成若干个三角函数组合；还有一个令人兴奋的事情是，通过欧拉公式，可将三角函数转换成复数形式。欧拉公式如：cos(t)=eit+e−it2cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}cos(t)=2eit+e−it 和 sin(t)=eit−e−it2isin(t) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}sin(t)=2ieit−e−it。

而周期为lll函数f(x)f(x)f(x)傅里叶级数是：f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}cos{\frac{n{\pi}x}{l}} + b_{n}sin{\frac{n{\pi}x}{l}})f(x)=2a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)，

那么经过整理和推导（推导过程博文很多，工程中我们不用关心，只关心最终的公式的代表的意义），可以得出周期为lll函数f(x)f(x)f(x)对应的复数域下的傅里叶展开级数为：f(x)=∑n=−∞∞cneinπxlf(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}c_ne^{i \frac{n{\pi}x}{l}}f(x)=∑n=−∞∞cneilnπx 。

到这里得到两个展开式，一个是实数域，一个是复数域的，这些展开式各自组合后，都是表示周期为　lll　的函数f(x)。通过这两种的变换，我们可以发现到这个周期函数函数是不仅有实数的一种表达方式的。

实数域：f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}cos{\frac{n{\pi}x}{l}} + b_{n}sin{\frac{n{\pi}x}{l}})f(x)=2a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)

复数域：f(x)=∑n=−∞∞cneinπxlf(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}c_ne^{i \frac{n{\pi}x}{l}}f(x)=∑n=−∞∞cneilnπx

本节小结：我们发现傅里叶级数与其他级数都是一样的，就是把一个函数拆开成若干个简单的函数，傅里叶级数也是如此，傅里叶级数是拆开成若干三角函数。

傅立叶变换

在傅里叶级数中，我们的主要做法是将一个周期函数展开，那么在现实中我们处理信号函数，该信号函数都是没有周期的；不过没关系，处理现实生活中的无周期信号，我们可以把它当成一个周期无线大的周期信号函数。

这里不像上一节直接给出方程（上一节方程直接记住就行，不记住也可以查表就可以），这里的方程不好理解，要详细推导过程才能理解。

首先是傅里叶级数的表达形式：
f(t)=a02+∑n=1∞[ancos(nωt)+ancos(nωt)]f(t) = \frac{a_0}{2} +\sum^{\infty}_{n = 1}[a_n cos(n{\omega}t) + a_n cos(n{\omega}t)]f(t)=2a0+∑n=1∞[ancos(nωt)+ancos(nωt)]
其中：
a0=2T∫t0t0+Tf(t)dta_0 = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)dta0=T2∫t0t0+Tf(t)dt
an=2T∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dta_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)cos(n{\omega}t)dtan=T2∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dt
bn=2T∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dtb_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)sin(n{\omega}t)dtbn=T2∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt

欧拉公式如：
cos(t)=eit+e−it2cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}cos(t)=2eit+e−it 和 sin(t)=eit−e−it2isin(t) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}sin(t)=2ieit−e−it

将a0,an,bna_0, a_n, b_na0,an,bn与欧拉公式带入傅里叶级数f(t)f(t)f(t)整理得到：
f(t)=1T∑n=−∞+∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωtf(t) = \frac{1}{T}\sum_{n = - \infty}^{+ \infty}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-in{\omega}t}dt {\cdot} e^{in{\omega}t}f(t)=T1∑n=−∞+∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt

然后提取整体变量：关于n的函数，F(nω)=∫t0t0+Tf(t)e−inωtdtF(n\omega) = \int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-in{\omega}t}dtF(nω)=∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt，并把nωn\omeganω换成ωx\omega_xωx，其中ωx\omega_xωx设为2πN⋅n\frac{2\pi}{N} \cdot nN2π⋅n，那么：
f(t)=1T∑n=−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtf(t) = \frac{1}{T}\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} F(\omega_x) {\cdot} e^{{i\omega_x}t}f(t)=T1∑n=−∞+∞F(ωx)⋅eiωxt

令ωx=2πN⋅n\omega_x = \frac{2\pi}{N} \cdot nωx=N2π⋅n，其中N→+∞,N∈ZN \to +\infty, N \in ZN→+∞,N∈Z带入上式可得：
f(t)=N2π⋅T⋅∑n=−∞+∞[F(ωx)⋅eiωxt2πN]f(t) = \frac{N}{2\pi \cdot T} \cdot \sum^{+\infty}_{n = -\infty}[F(\omega_x) \cdot e^{i{\omega_x}t} \frac{2\pi}{N}]f(t)=2π⋅TN⋅∑n=−∞+∞[F(ωx)⋅eiωxtN2π]

=N2π⋅T∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωx= \frac{N}{2{\pi}{\cdot}T}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_x) \cdot e^{i{\omega_x}t} d\omega_x=2π⋅TN∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωx

此时引入现实的问题，在现实世界中处理的信号函数，其周期无限大，也就是T→NT \to NT→N，其中N→+∞N \to +\inftyN→+∞，可以得到傅里叶变换公式：
f(t)=12π∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωxf(t) = \frac{1}{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_x) \cdot e^{i{\omega_x}t} d\omega_xf(t)=2π1∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωx 把这个公式成为 公式1
公式中的F(ωx)F(\omega_x)F(ωx)就是整体变量F(ωx)=∫t0t0+Tf(t)e−iωxtdtF(\omega_x) = \int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-i\omega_xt}dtF(ωx)=∫t0t0+Tf(t)e−iωxtdt。这里的nωn\omeganω换成了ωx\omega_xωx

结论：

傅里叶变换是F(ωx)F(\omega_x)F(ωx)公式，而f(t)=12π∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωxf(t) = \frac{1}{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_x) \cdot e^{i{\omega_x}t} d\omega_xf(t)=2π1∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωx是傅里叶逆变换。其实这种说法会让人难以理解，其实周期无限大的傅里叶级数推导后的公式就是公式1；
周期无限大的信号对其进行傅里叶级数展开时，其过程这样的 复杂函数 —> 频域下的函数组合 —> 时域下的简单函数组合
在周期无限大的信号函数进行傅里叶级数 推导的过程中，会产生中间变量F(ωx)F(\omega_x)F(ωx)（令人激动的是，这个函数是原信号的频域表达式），然后再对其积分，就是等价于原来的函数了；
其中 复杂函数 等于 时域下的简单函数组合，而 频域下的函数组合 是转换过程中的一个中间结果，然而这个中间结果揭示了一个信号函数的频率表现形式。

离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

傅里叶变换是处理一个连续的函数，而在计算机的处理都是处理离散化的数据。那么根据傅里叶变换公式，然后推导出离散傅里叶变化。

f(t)=1T∑n=−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtf(t) = \frac{1}{T}\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} F(\omega_x) {\cdot} e^{i{\omega_x}t}f(t)=T1∑n=−∞+∞F(ωx)⋅eiωxt 是由 f(t)=N2π⋅T⋅∑n=−∞+∞[F(ωx)⋅eiωxt2πN]=N2π⋅T∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωxf(t) = \frac{N}{2\pi \cdot T} \cdot \sum^{+\infty}_{n = -\infty}[F(\omega_x) \cdot e^{i{\omega_x}t} \frac{2\pi}{N}] = \frac{N}{2{\pi}{\cdot}T}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_x) \cdot e^{i{\omega_x}t} d\omega_xf(t)=2π⋅TN⋅∑n=−∞+∞[F(ωx)⋅eiωxtN2π]=2π⋅TN∫−∞+∞F(ωx)⋅eiωxtdωx 推导而来的。

因为在傅里叶级数推导傅里叶变换中，已经设ωx=2πN⋅n\omega_x = \frac{2\pi}{N} \cdot nωx=N2π⋅n，又因为现实问题中，信号的周期无限大，即N→+∞N \to + \inftyN→+∞，所以ωx→0\omega_x \to 0ωx→0 。

在处理离散傅里叶的变化中，现实中的信号都是从0开始，替换公式 f(t)=1T∑n=−∞+∞F(ωx)⋅einωtf(t) = \frac{1}{T}\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} F(\omega_x) {\cdot} e^{in{\omega}t}f(t)=T1∑n=−∞+∞F(ωx)⋅einωt 中的N，

得到离散傅里叶逆变换公式：

f(t)=N2π⋅T∑n=0NF(n)⋅ei2π⋅nNt⋅2πN=1T∑n=0N[F(n)⋅ei2π⋅nNt]f(t) = \frac{N}{2\pi \cdot T}\sum_{n = 0}^{N} F(n) {\cdot} e^{i \frac{2 \pi \cdot n}{N} t} \cdot \frac{2\pi}{N} = \frac{1}{T} \sum_{n = 0}^{N}[F(n) \cdot e^{i \frac{2 \pi \cdot n}{N} t}]f(t)=2π⋅TN∑n=0NF(n)⋅eiN2π⋅nt⋅N2π=T1∑n=0N[F(n)⋅eiN2π⋅nt]

离散傅里叶变换公式：

这里的ωx\omega_xωx等于n即F(ωx)F(\omega_x)F(ωx)等于F(n)F(n)F(n)，是因为在傅里叶级数推导的傅里叶变换的章节中，F(nω)=∫t0t0+Tf(t)e−inωtdtF(n\omega) = \int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-in{\omega}t}dtF(nω)=∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt，令nωn\omeganω为一个新的变量n，后面变换nωn\omeganω；根据周期与角频率公式，又因为ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}ω=T2π，这里的T变为N，所以ω=2πN\omega = \frac{2\pi}{N}ω=N2π，即公式为：F(n)=∑t=0Nf(t)e−i2π⋅nNtF(n) = \sum_{t = 0}^{N}f(t)e^{-i\frac{2 \pi \cdot n}{N}t}F(n)=∑t=0Nf(t)e−iN2π⋅nt，该公式也是傅里叶变换公式。

小结：傅里叶变换转成离散傅里叶变换，N由原来的(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞)变成(0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞)，且N每个取值是一个整数。

注意： 原来的傅里叶变换公式变成离散傅里叶变换公式，原来的是F(ωx)F(\omega_x)F(ωx)变为F(n)F(n)F(n)，这里不是从F(ωx)F(\omega_x)F(ωx)变换过去的，而是从最初F(nω)=∫t0t0+Tf(t)e−inωtdtF(n\omega) = \int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-in{\omega}t}dtF(nω)=∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt变换的。

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