解析几何复习（一）向量代数

文章目录

向量及其运算性质
向量间的位置关系
- 向量a,ba,\,ba,b共线
- 向量a,ba,\,ba,b不共线
- 向量a,b,ca,\,b,\,ca,b,c共面
- 向量a,b,ca,\,b,\,ca,b,c不共面
- 一些其他结论
向量的内积（点积、数量积）
- 性质
向量的外积（叉积、向量积）
- 坐标计算公式
- 性质
二重外积
- Jacobi等式
★\bigstar★向量的混合积
- 几何意义
- 性质
- 坐标计算公式
- Lagrange恒等式(二维的勾股定理)
参考

向量及其运算性质

满足关于加法的四条运算法则和数量乘法的四条运算法则（向量的线性运算。类似于线性空间的八条运算法则）：

加法：
1. α+β=β+α\alpha+\beta=\beta+\alphaα+β=β+α，（加法交换律）
2. (α+β)+γ=α+(β+γ)(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)(α+β)+γ=α+(β+γ)，（加法结合律）
3. 0+α=α+0=α0+\alpha=\alpha+0=\alpha0+α=α+0=α,（零元存在且唯一）
4. α+β=β+α=0\alpha+\beta=\beta+\alpha=0α+β=β+α=0，β\betaβ记为−α-\alpha−α，（负元存在且唯一）
数量乘法：
1. 1α=α,(−1)α=−α1\alpha=\alpha,\ (-1)\alpha=-\alpha1α=α, (−1)α=−α，（单位元存在且唯一）
2. (kl)α=k(lα)(kl)\alpha=k(l\alpha)(kl)α=k(lα)，（数量乘法结合律）
3. k(α+β)=kα+kβk(\alpha+\beta)=k\alpha+k\betak(α+β)=kα+kβ，（左分配律，联系加法与数乘）
4. (k+l)α=kα+lα(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha(k+l)α=kα+lα，（右分配律，联系加法与数乘）

向量间的位置关系

向量a,ba,\,ba,b共线

充要条件：

存在唯一λ∈R\lambda\in\mathbb{R}λ∈R，使得b=λab=\lambda ab=λa;
存在不全为000的λ,μ∈R\lambda,\,\mu\in \mathbb{R}λ,μ∈R，使得λa+μb=0\lambda a+\mu b=0λa+μb=0.

向量a,ba,\,ba,b不共线

从λa+μb=0\lambda a+\mu b=0λa+μb=0可以推出λ=μ=0\lambda=\mu=0λ=μ=0.

向量a,b,ca,\,b,\,ca,b,c共面

必要条件：

a,b,ca,\,b,\,ca,b,c共面，且a,ba,\,ba,b不共线，则存在唯一的一对实数λ,μ\lambda,\,\muλ,μ使得
c=λa+μb.c=\lambda a+\mu b. c=λa+μb.

充分条件：

若c=λa+μbc=\lambda a+\mu bc=λa+μb，则a,b,ca,\,b,\,ca,b,c共面。

充分必要条件：

有不全为零的实数k1,k2,k3k_1,\,k_2,\,k_3k1,k2,k3使得
k1a+k2b+k3c=0.k_1a+k_2b+k_3c=0. k1a+k2b+k3c=0.

向量a,b,ca,\,b,\,ca,b,c不共面

充要条件：

从k1a+k2b+k3c=0k_1a+k_2b+k_3c=0k1a+k2b+k3c=0可以推出k1=k2=k3=0k_1=k_2=k_3=0k1=k2=k3=0

一些其他结论

点MMM在直线ABABAB上⟺\,\iff\,⟺存在非负实数λ,μ\lambda,\,\muλ,μ使得
OM→=λOA→+μOB→,且λ+μ=1,\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB},\text{且}\lambda+\mu=1, OM=λOA+μOB,且λ+μ=1,
OOO是任意取定的一点。
三点A,B,CA,\,B,\,CA,B,C共线充要条件是：存在不全为零的实数λ,μ,ν\lambda,\,\mu,\,\nuλ,μ,ν使得
λOA→+μOB→+νOC→=0,且λ+μ+ν=0,\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}+\nu\overrightarrow{OC}=0,\text{且}\lambda+\mu+\nu=0, λOA+μOB+νOC=0,且λ+μ+ν=0,
OOO是任意取定的一点。
四点共面充要条件：
∣x1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z41111∣=0.\begin{vmatrix} x_1&x_2&x_3&x_4\\ y_1&y_2&y_3&y_4\\ z_1&z_2&z_3&z_4\\ 1&1&1&1\\ \end{vmatrix} =0. ∣∣∣∣∣∣∣∣x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z41∣∣∣∣∣∣∣∣=0.

向量的内积（点积、数量积）

a⋅b:=∣a∣∣b∣cos⁡⟨a,b⟩.a\cdot b:=|a||b|\cos\langle a,\,b\rangle. a⋅b:=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩.

其结果为一个标量（数）。

性质

a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot aa⋅b=b⋅a，（对称性）
(λa)⋅b=λ(a⋅b)(\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b)(λa)⋅b=λ(a⋅b)，（线性）
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c，（线性）
a⋅a⩾0a\cdot a\geqslant0a⋅a⩾0，（正定性）

向量的外积（叉积、向量积）

a×b:=∣a∣∣b∣sin⁡⟨a,b⟩.a\times b:=|a||b|\sin\langle a,\,b\rangle. a×b:=∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩.

其结果为一个向量，方向规定为：与a,ba,\,ba,b均垂直，并且使(a,b,a×b)(a,\,b,\,a\times b)(a,b,a×b)成右手系，即，当右手四指从aaa弯向bbb（转角小于pipipi）时，拇指的指向就是a×ba\times ba×b的方向。

坐标计算公式

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)a=(a_1,\,a_2,\,a_3),\ b=(b_1,\,b_2,\,b_3)a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)，则a×ba\times ba×b坐标为
(∣a2b2a3b3∣,−∣a1b1a3b3∣,∣a1b1a2b2∣)\left( \begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix},\, -\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_3&b_3\end{vmatrix},\, \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} \right) (∣∣∣∣a2a3b2b3∣∣∣∣,−∣∣∣∣a1a3b1b3∣∣∣∣,∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣)
可简记为：
a×b=∣e1a1b1e2a2b2e3a3b3∣.a\times b= \begin{vmatrix} e_1&a_1&b_1\\ e_2&a_2&b_2\\ e_3&a_3&b_3\\ \end{vmatrix}. a×b=∣∣∣∣∣∣e1e2e3a1a2a3b1b2b3∣∣∣∣∣∣.

性质

★a×b=−b×a\bigstar\ a\times b=-b\times a★ a×b=−b×a，（反交换律）
(λa)×b=λ(a×b)(\lambda a)\times b=\lambda(a\times b)(λa)×b=λ(a×b)，
a×(b+c)=a×b+a×ca\times(b+c)=a\times b+a\times ca×(b+c)=a×b+a×c，（左分配律）
(b+c)×a=b×a+c×a(b+c)\times a=b\times a+c\times a(b+c)×a=b×a+c×a，（右分配律）

二重外积

a×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c,(a×b)×c=−c×(a×b)=−(c⋅b)a+(c⋅a)b.\begin{aligned} a\times(b\times c)&=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c,\\ (a\times b)\times c&=-c\times(a\times b)=-(c\cdot b)a+(c\cdot a)b. \end{aligned} a×(b×c)(a×b)×c=(a⋅c)b−(a⋅b)c,=−c×(a×b)=−(c⋅b)a+(c⋅a)b.

利用外积坐标公式(第二个式子需要用到外积的反交换律)即可得到。

Jacobi等式

a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0a\times (b\times c)+b\times (c\times a)+c\times (a\times b)=0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

★\bigstar★向量的混合积

几何意义

平行六面体的定向体积；

性质

a×b⋅c=b×c⋅a=c×a⋅ba\times b\cdot c=b\times c\cdot a=c\times a\cdot ba×b⋅c=b×c⋅a=c×a⋅b;
a×b⋅c=a⋅(b×c)a\times b\cdot c=a\cdot(b\times c)a×b⋅c=a⋅(b×c);

坐标计算公式

a×b⋅c=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣.a\times b\cdot c= \begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3\\ \end{vmatrix}. a×b⋅c=∣∣∣∣∣∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣∣∣∣∣∣.

Lagrange恒等式(二维的勾股定理)

(a⋅b)×(c⋅d)=∣a⋅ca⋅db⋅cb⋅d∣.(a\cdot b)\times(c\cdot d)= \begin{vmatrix} a\cdot c & a\cdot d\\ b\cdot c & b\cdot d\\ \end{vmatrix}. (a⋅b)×(c⋅d)=∣∣∣∣a⋅cb⋅ca⋅db⋅d∣∣∣∣.

参考

丘维声《解析几何（第一版）》1988.8.