无向网络节点重要性指标

一、度中心性

网络中一个节点的价值首先取决于这个节点在网络中所处的位置，位置越中心其价值越大。在社会网络分析中，常用”中心性“来表示。最直接的度量是度中心性，即一个节点的度越大就意味着这个节点越重要。一个包含N个节点的网络中，节点最大可能的度值为N-1，通常为便于比较而对中心性指标作归一化处理，度为ki_ii的节点的归一化的度中心性值定义为：

二、介数中心性

用经过某个节点的最短路径的数目来刻画节点重要性的指标就称为介数中心性，简称介数。
节点i的介数定义为：

其中，gst_{st}st为从节点s到节点t的最短路径的数目。nsti_{st}^isti为从节点s到节点t的gst_{st}st条最短路径中经过节点i的最短路径数目。
上述介数刻画了节点i对于网络中节点对之间沿着最短路径传输信息的控制能力。
对于一个包含N个节点的连通网络，节点度的最大可能值为N-1，节点介数的最大可能值是星形网络中的中心节点的介数值；因为所有其它节点对之间的最短路径是唯一的并且都会经过该中心节点，所以该节点的介数就是最短路径的数目，即为：

基于上式，一个包含N个节点的网络中节点i的归一化介数定义为：

三、接近中心性

对于网络中的每一个节点i，可以计算该节点到网络中所有节点的平均值，记为di_ii，即有

其中dij_{ij}ij是节点i到节点j的距离。这样，就得到网络平均路径长度的另一种计算公司：

di_ii值得相对大小也在某种程度上反映了节点i在网络中得相对重要性：di_ii值越小意味着节点i更接近其它节点。我们把di_ii的倒数定义为节点i的接近中心性，简称接近数，用符号CCi_ii来表示：

四、k-壳与k-核

假设网络中不存在度为0的节点，我们先把所有度值为1的节点以及与这些节点相连的边都去掉，直到网络中不在有度值为1的节点，这种操作就相当于剥掉了最外面的一层壳，将这些被去除的节点以及它们之间的连边称为网络的1-壳，在剥去了1-壳后继续剥2-壳，依次类推，可以进一步得到指标更高的壳，直至网络中的每一个节点最后都被划分到相应的k-壳中，就得到了网络的k-壳分解。网络中的每一个节点对应于唯一的k-壳指标ks_ss，并且ks_ss-壳中所包含的节点的度值必然满足k>=ks_ss。
在得到一个k-核分解之后，我们把所有ks_ss>=k的k-壳的并集称为网络的k-核。把指标ks_ss<=k的k-壳的并集称为网络的k-皮。
k-核的一个等价定义是：它是一个网络中所有度值不小于k的节点组成的连通片。

五、特征向量中心性

特征向量中心性的基本思想是：一个节点的重要性即取决于其邻居节点的数量，也取决于该邻居节点的重要性。记xi_ii为节点i的重要性度量值，那么，应该有

其中c为一比例常数，A=a（ij_{ij}ij）仍然是网络的邻接矩阵。记x=[x1,x2，，xN]T[x_1,x_2，，x_N]^T[x1,x2，，xN]T，则上式可写成如下矩阵形式：

上式意味着x是矩阵A与特征值c−1^{-1}−1对应的特诊向量，故此称为特诊向量中心性。
计算向量x的一个基本方法就是给定初值x（0），然后采用如下迭代算法：