高斯消元简单线性代数线性基学习记录
线性代数，唉
高斯消元
P4035 [JSOI2008]球形空间产生器
题目描述
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
解题思路
模板题，列出方程组高斯消元即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const db eps=1e-8;
const int N = 20;
db C[N][N],B[N];
int n;
void Gauss()
{for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=n;j++){if(fabs(C[j][i])>eps){for(int k=1;k<=n;k++)swap(C[i][k],C[j][k]);swap(B[i],B[j]);}}for(int j=1;j<=n;j++){if(j==i) continue;db tmp=C[j][i]/C[i][i];for(int k=1;k<=n;k++)C[j][k]-=C[i][k]*tmp;B[j]-=B[i]*tmp;}}
}
bool check1()
{for(int i=1;i<=n;i++){bool flag=1;for(int j=1;j<=n;j++)if(fabs(C[i][j])>eps){flag=0;break;}if(flag==1&&fabs(B[i])>eps) return 1;}return 0;
}
bool check2()
{for(int i=1;i<=n;i++){int cnt=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(fabs(C[i][j])>eps) cnt++;}if(cnt>1) return 1;}return 0;
}
db A[N][N];
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n+1;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&A[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){C[i][j]=2*(A[i][j]-A[i+1][j]);B[i]+=A[i][j]*A[i][j]-A[i+1][j]*A[i+1][j]; }}Gauss();if(check1()) {printf("No solution");return 0;}if(check2()){printf("Infinite group solutions");return 0;}for(int i=1;i<n;i++)printf("%.3lf ",B[i]/C[i][i]);printf("%.3lf",B[n]/C[n][n]);return 0;
}
开关问题
题目描述
有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）
解题思路
开关的开和关可以用0/1表示,按或不按也可以用0/1表示，这样列出异或方程组，高斯消元即可，对于每个自由元有2中取值，所以答案就是2k2^k2k，其中k为自由元个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 120;
int n;
int C[N][N],B[N];
int Gauss()
{int r=1,c=1;for(;c<=n;c++){int t=r;for(int i=r+1;i<=n;i++)if(C[i][c]) t=i;if(!C[t][c]) continue;for(int i=c;i<=n;i++)swap(C[t][i],C[r][i]);swap(B[t],B[r]);for(int i=r+1;i<=n;i++){if(C[i][c]){ B[i]^=B[r];for(int j=n;j>=c;j--)C[i][j]^=C[r][j];}}r++;}int res=1;if(r<=n){for(int i=r;i<=n;i++){if(B[i]) return -1;res*=2;}}return res;
}
void solve()
{memset(C,0,sizeof(C));memset(B,0,sizeof(B));cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&B[i]);for(int i=1;i<=n;i++){int ed;scanf("%d",&ed);B[i]^=ed;C[i][i]=1;}int x,y;while(1){scanf("%d%d",&x,&y);if(x==0&&y==0) break;C[y][x]=1;}int t=Gauss();if(t==-1) printf("Oh,it's impossible~!!\n");else printf("%d\n",t);
}
int main()
{freopen("switch.in","r",stdin);freopen("switch.out","w",stdout);int T;cin>>T;while(T--){solve();}return 0;
}
[JLOI2015]装备购买
解题思路
把装备看成向量，题目的限制就是要求线性空间的基，高斯消元并有限选择最少花费的向量作为主元就能保证答案最小
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 520;
typedef long long LL;
typedef double db;
typedef long double ldb;
const ldb eps = 1e-8;
ldb C[N][N];
int cost[N];
int n,m;
int cnt=0,ans=0;
void Gauss()
{for(int i=1;i<=m;i++){int t=0;for(int j=cnt+1;j<=n;j++){if(fabs(C[j][i])>eps&&(t==0||cost[j]<cost[t]))t=j;}if(t==0) continue;++cnt;ans+=cost[t];for(int j=1;j<=m;j++)swap(C[cnt][j],C[t][j]);swap(cost[cnt],cost[t]);for(int j=1;j<=n;j++){if(j!=cnt&&fabs(C[j][i])>eps){ldb dt=C[j][i]/C[cnt][i];for(int k=i;k<=m;k++)C[j][k]-=C[cnt][k]*dt;}}}
}
int main()
{freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%llf",&C[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&cost[i]);Gauss();cout<<cnt<<' '<<ans<<endl;return 0;
}
P2962 [USACO09NOV]Lights G
题目描述
贝希和她的闺密们在她们的牛棚中玩游戏。但是天不从人愿，突然，牛棚的电源跳闸了，所有的灯都被关闭了。
贝希是一个很胆小的女生，在伸手不见拇指的无尽的黑暗中，她感到惊恐，痛苦与绝望。
她希望您能够帮帮她，把所有的灯都给重新开起来！她才能继续快乐地跟她的闺密们继续玩游戏！
牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盏灯，编号为1到N。
这些灯被置于一个非常複杂的网络之中。有M（1 <= M <= 595）条很神奇的无向边，每条边连接两盏灯。
每盏灯上面都带有一个开关。当按下某一盏灯的开关的时候，这盏灯本身，还有所有有边连向这盏灯的灯的状态都会被改变。状态改变指的是：当一盏灯是开著的时候，这盏灯被关掉；当一盏灯是关著的时候，这盏灯被打开。
问最少要按下多少个开关，才能把所有的灯都给重新打开。 数据保证至少有一种按开关的方案，使得所有的灯都被重新打开。
解题思路
和上面的题类似，解出异或方程组，我们分析高斯消元的本质，其并没有改变这个矩阵的本质，因为我们的矩阵是邻接矩阵，所以我们高斯消元之后依旧是邻接矩阵，如果我们求的是上三角矩阵，则每个点之和它后面的点有关，所以对于主元我们直接按或不按判断，自由元dfs搜答案，倒叙dfs，可以保证前面的点对后面没有影响
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N = 5030;
LL C[N][N],B[N];
LL n,m;
LL pos[N];
LL Gauss()
{LL cnt=0;for(LL i=1;i<=n;i++){LL t=0;for(LL j=i;j<=n;j++)if(C[j][i]){t=j;break;}if(t==0) {cnt++;continue;}for(LL k=1;k<=n;k++)swap(C[i][k],C[t][k]);swap(B[i],B[t]);cnt++;for(LL j=1;j<=n;j++){if(j==i||!C[j][i]) continue;for(LL k=i+1;k<=n;k++)C[j][k]^=C[i][k];B[j]^=B[i];C[j][i]=0;}}return cnt;
}
LL Ans=1e9;
LL Light[N];
void dfs(LL x,LL cnt)
{if(cnt>=Ans) return;if(x==0){Ans=cnt;return;}if(C[x][x]){LL val=B[x];for(LL i=x+1;i<=n;i++)if(C[x][i]) val^=Light[i];dfs(x-1,cnt+val);}else{dfs(x-1,cnt);Light[x]=1;dfs(x-1,cnt+1);Light[x]=0;}
}
int main()
{cin>>n>>m;for(LL i=1;i<=n;i++){C[i][i]=1;B[i]=1;}for(LL i=1;i<=m;i++){LL x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);C[x][y]=C[y][x]=1;}if(Gauss()==0){LL ans=0;for(LL i=1;i<=n;i++)ans+=B[i];cout<<ans;return 0;}dfs(n,0);cout<<Ans; return 0;
}
SP2883 WIDGET - Widget Factory
题目描述
小部件工厂生产几种不同类型的小部件。
每个小部件都是精心制作而成。
制作小部件所需的时间取决于其类型：简单小部件仅需要 333 天，但最复杂的小部件可能需要多达 999 天。
工厂目前处于完全混乱的状态：最近，工厂被一位新主人收购，新主人解雇了几乎所有员工。
新员工对制作小部件毫无经验，没有人清楚制作每个不同类型的小部件分别需要多少天。
当客户订购小部件，工厂却无法告诉客户生产所需商品需要多少天时显得十分尴尬。
幸运的是，这里有记录记载了每个工人开始制作的日期，完成制作的日期以及制作的小部件型号。
但是问题是记录没有明确记载工人开始和完成工作的确切日期，只记录了该天是星期几。
尽管如此，这些信息也是有些帮助的：例如，如果一个人在星期二开始制作一个 414141 型小部件，并在周五完成，那么我们就知道了制作一个 414141 型小部件需要 444 天时间（因为最多不超过 999 天，所以不可能是 111111 天或更多）。
您的任务是从这些记录中（如果可能）找出制作不同类型的小部件所需的天数。
解题思路
我们把天数看成未知数，列出方程组，因为要%7，所以这是一个线性同余方程组，解得时候不能直接除，要用exgcd求逆元，细节挺多
线性基
[HDOJ3949]XOR
题目描述
有n个整数a1,a2...ana_1,a_2...a_na1,a2...an和m个询问，每个询问给出一个整数k，求从这n个数中选出若干数执行异或运算得到的整数 集合 中第k小的数是多少。
解题思路
线性基求异或第k大，详见OI-WIKI
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N = 52000;
LL a[N],d[N];
LL tot=0;
LL n,m;
bool f=0;
void Insert(LL x)
{for(LL i=60;i>=0;i--){if(x&(1ll<<i)){if(d[i]) x^=d[i];else {d[i]=x;++tot;return;}}}f=1;
}
inline void work()
{for(LL i=0;i<=60;++i){if(!d[i])continue;for(LL j=i+1;j<=60;++j)if(d[j]&(1ll<<i))d[j]=d[j]^d[i];}
}
LL k_th(LL k)
{if(f) k--;if(k>(1ll<<tot)-1) return -1; LL ans=0;for(LL i=0;i<=60;i++)if(d[i]){if(k&1) ans=ans^d[i];k=k>>1;}return ans;
}
void solve()
{tot=0;f=0;memset(d,0,sizeof(d));cin>>n>>m;for(LL i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);Insert(a[i]);}work();for(LL i=1;i<=m;i++){LL k;scanf("%lld",&k);printf("%lld\n",k_th(k));}
}
int main()
{freopen("xor.in","r",stdin);freopen("xor.out","w",stdout);LL T;cin>>T;while(T--){solve();}return 0;
}
P4151 [WC2011]最大XOR和路径
解题思路
如果没有环，那么答案就是一条链，但是现在有了环，我们考虑从链上的一点走进环，发现一来一回，从链连向环的边被异或消掉了，所以只增加了环的异或和，所以我们dfs把所有的环找出来，加入线性基，然后找一条链使得从线性基中选择一些环异或它最大，这条链其实可以任意选，因为即使你选的不是最优的链，你也可以通过异或一个大环变成另一条链（因为这是无向图，所以两条链肯定会构成一个环）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N = 1e5+7;
struct edge
{LL y,v,next;
}e[2*N];
LL link[N],t=0;
void add(LL x,LL y,LL v)
{e[++t].y=y;e[t].v=v;e[t].next=link[x];link[x]=t;
}
LL n,m;
struct LinearBase
{LL d[100];LL cnt;LinearBase(){cnt=0;memset(d,0,sizeof(d));}void Insert(LL x){for(LL i=60;i>=0;i--){if(x&(1ll<<i)){if(d[i]) x^=d[i];else{cnt++;d[i]=x;return;} }}}LL Max(LL x){LL ans=x;for(LL i=60;i>=0;i--)if((ans^d[i])>ans) ans^=d[i];return ans;}
}Set;
bool vis[N];
LL dis[N];
void Find(LL x,LL dist)
{dis[x]=dist;vis[x]=1;for(LL i=link[x];i;i=e[i].next){LL y=e[i].y;if(!vis[y]) Find(y,dist^e[i].v);else{LL val=dist^dis[y]^e[i].v;Set.Insert(val); }}
}
int main()
{freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);cin>>n>>m;for(LL i=1;i<=m;i++){LL x,y,v;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&v);add(x,y,v);add(y,x,v);}Find(1,0ll);printf("%lld\n",Set.Max(dis[n]));return 0;
}
P3857 [TJOI2008]彩灯
解题思路
我们把异或看成二进制数，则显然原集合能异或出的状态线性基也能异或出来，所以把这些状态加入线性基，最终设线性基中有x个元素，那么每个数可选可不选，共2x2^x2x种答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N =100;
LL D[60];
int tot=0;
void Insert(LL x)
{for(int i=60;i>=0;i--){if(x&(1ll<<i)){if(D[i]) x^=D[i];else{D[i]=x;++tot;break;}}}
}
int n,m;
char s[N];
LL change()
{LL res=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(s[i]=='O') res|=(1ll<<i);return res;
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%s",s+1);LL x=change();Insert(x);}LL ans=(1ll<<tot);cout<<ans%2008;return 0;
}
P3292 [SCOI2016]幸运数字
解题思路
看到异或最大值可以想到线性基，而树上两点间的查询可以想到树剖，所以用树剖维护两点间的线性基，复杂度有点大，O(nlog4)O(nlog^4)O(nlog4)，需要开O2，但是有更好的做法，因为没有修改所以完全可以用倍增，复杂度O(nlog3)O(nlog^3)O(nlog3)，轻松通过，不过我还是写的是树剖
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20020;
struct node
{int y,next;
}e[2*N];
int link[N],t=0;
void add(int x,int y)
{e[++t].y=y;e[t].next=link[x];link[x]=t;
}
int n,q;
LL Luck[N];
struct LinearBase
{LL D[63];LinearBase(){memset(D,0,sizeof(D));}void Insert(LL x){for(int i=60;i>=0;i--){if(x&(1ll<<i)){if(D[i]) x^=D[i];else{D[i]=x;break;}}}}LL Ask(){LL ans=0;for(int i=60;i>=0;i--)if((ans^D[i])>ans) ans^=D[i];return ans;}
}tree[4*N];
void Merge(LinearBase &x,LinearBase &y)
{for(int i=60;i>=0;i--){if(y.D[i]!=0){x.Insert(y.D[i]); }}
}
int dep[N],fa[N],top[N],siz[N],son[N];
void dfs(int x,int pre)
{fa[x]=pre;dep[x]=dep[pre]+1;siz[x]=1;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre) continue;dfs(y,x);siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;}
}
int seq[N],dfn[N],tot=0;
void Exdfs(int x,int topth)
{dfn[x]=++tot;top[x]=topth;seq[tot]=x;if(!son[x]) return;Exdfs(son[x],topth);for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==son[x]||y==fa[x]) continue;Exdfs(y,y);}
}
void build(int k,int l,int r)
{if(l==r){tree[k].Insert(Luck[seq[l]]);return; }int mid=(l+r)>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);tree[k]=tree[k<<1];Merge(tree[k],tree[k<<1|1]);
}
LinearBase Ask(int k,int l,int r,int L,int R)
{if(L<=l&&r<=R) return tree[k];int mid=(l+r)>>1;LinearBase res;if(L<=mid) {LinearBase tmp=Ask(k<<1,l,mid,L,R);Merge(res,tmp);}if(R>mid){LinearBase tmp=Ask(k<<1|1,mid+1,r,L,R);Merge(res,tmp);}return res;
}
LL Query(int x,int y)
{LinearBase res;while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);LinearBase tmp=Ask(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);Merge(res,tmp);x=fa[top[x]];}if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);LinearBase tmp=Ask(1,1,n,dfn[x],dfn[y]);Merge(res,tmp);return res.Ask();
}
int main()
{cin>>n>>q;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&Luck[i]);for(int i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y);add(y,x);}dfs(1,0);Exdfs(1,1);build(1,1,n);while(q--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%lld\n",Query(x,y));}return 0;
}P3733 [HAOI2017]八纵八横
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1120;
typedef bitset<N> bit;
vector<bit> tree[4*N];
int n,m,q;
struct edge
{int y,next;bit v;
}e[4*N];
int link[N],t=0;
struct node
{int x,y;bit v;
}seg[N];
int Mx=1000;
bit dis[N];
struct LB
{bit D[N];void insert(bit x){for(int i=Mx;i>=0;i--){if(x[i]){if(!D[i].any()){D[i]=x;break;}else x^=D[i];}}}
}Fst;
void add(int x,int y,bit v)
{e[++t].y=y;e[t].v=v;e[t].next=link[x];link[x]=t;
}
char s[N];
bit read()
{bit x;scanf("%s",s);int len=strlen(s)-1;for(int i=0;i<=len;i++)x[i]=s[len-i]-'0';return x;
}
bool vis[N];
void dfs(int x,int pre)
{vis[x]=1;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre) continue;if(!vis[y]){dis[y]=dis[x]^e[i].v;dfs(y,x);}else Fst.insert(dis[y]^dis[x]^e[i].v) ;}
}
void Add(int k,int l,int r,int L,int R,bit x)
{if(L<=l&&r<=R){tree[k].push_back(x);return;}int mid=(l+r)>>1;if(L<=mid) Add(k<<1,l,mid,L,R,x);if(R>mid) Add(k<<1|1,mid+1,r,L,R,x);
}
bit Ans;
void Print(LB x)
{Ans.reset();int i;for(i=Mx;i>=0;i--)if(x.D[i].any()) break;if(i<0){printf("0\n");return;}int pos=i;for(int j=i;j>=0;j--)if(x.D[j].any()&&!Ans[j]) Ans^=x.D[j];for(int j=pos;j>=0;j--)if(Ans[j]==0) printf("0");else printf("1");printf("\n");
}
void solve(int k,int l,int r,LB now)
{for(int i=0;i<tree[k].size();i++)now.insert(tree[k][i]);if(l==r){Print(now);return;}int mid=(l+r)>>1;solve(k<<1,l,mid,now);solve(k<<1|1,mid+1,r,now);
}
int st[N];
int main()
{cin>>n>>m>>q;bit v;for(int i=1;i<=m;i++){v.reset();int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);v=read();add(x,y,v);add(y,x,v);}int top=0;dfs(1,0);for(int i=1;i<=q;i++){scanf("%s",s+1);if(s[1]=='C'){int x;scanf("%d",&x);Add(1,1,q,st[x],i-1,dis[seg[x].x]^dis[seg[x].y]^seg[x].v);if(s[2]=='h'){st[x]=i;seg[x].v.reset();seg[x].v=read(); }else st[x]=0;} else{st[++top]=i;scanf("%d %d",&seg[top].x,&seg[top].y);seg[top].v=read();}}for(int i=1;i<=top;i++)if(st[i]) Add(1,1,q,st[i],q,dis[seg[i].x]^dis[seg[i].y]^seg[i].v);Print(Fst);if(q!=0) solve(1,1,q,Fst);return 0;
}
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