第一型曲面积分

直径

直径趋于零则面积一定趋于零
但面积趋于零，有可能出现长条的情况，不满足密度近似均匀和形体近似平面

定义

分（割极细，以至于密度和形体在面元内部均）匀（，随后求）和（，在这种切分下整体呈现出稳定的极限值）

性质（略）

线性性质，分片光滑的可累加性
（重要）奇偶性

计算

完全可以认为是第一类曲线积分的形式上的直接拓展。
lim⁡λ→0∑i=1nf(x,y,z)ΔSi=lim⁡λ→0∑i=1nf(x,y,g(x,y))1+gx2(xi,yi)+gy2(xi,yi)dσ=∬Df(x,y,g(x,y))1+gx2+gy2dσ\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x,y,z)\Delta S_i\\=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2(x_i,y_i)+g_y^2(x_i,y^i)}\,\mathrm d\sigma\\ =\iint\limits_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,\mathrm d\sigma λ→0limi=1∑nf(x,y,z)ΔSi=λ→0limi=1∑nf(x,y,g(x,y))1+gx2(xi,yi)+gy2(xi,yi)dσ=D∬f(x,y,g(x,y))1+gx2+gy2dσ
最后一项是一个二重积分。

不难看出线面积分之间的关系。我们只是将一次一元积分转化成(二元的)二重积分

另外方向余弦可以利用参数方程进行表示，这种情况下法向量可以利用ru×rvr_u\times r_vru×rv替换，从而知cos⁡γ=CA2+B2+C2\cos\gamma=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}cosγ=A2+B2+C2C。随后我们会看到这为我们计算带来很大的便利性。
作变量代换：
dS=dσ∣cos⁡γ∣=A2+B2+C2∣C∣dσ=EG−F2dudv\mathrm dS=\frac{\mathrm d\sigma}{|\cos\gamma|}=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|C|}\mathrm d\sigma=\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm du\,\mathrm dv dS=∣cosγ∣dσ=∣C∣A2+B2+C2dσ=EG−F2dudv

其中A,B,CA,B,CA,B,C是i→,j→,k→\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}i,j,k的系数，分别为D(y,z)D(u,v),D(x,z)D(u,v),D(x,y)D(u,v)\frac{D(y,z)}{D(u,v)},\frac{D(x,z)}{D(u,v)},\frac{D(x,y)}{D(u,v)}D(u,v)D(y,z),D(u,v)D(x,z),D(u,v)D(x,y) ，∣C∣|C|∣C∣和我们换元产生的中间结果相消了。

为什么会出现这样的几个Jacobi式呢？我们可以拿i→\overrightarrow{i}i为例，垂直于zzz轴的变化是在平行于xOyxOyxOy的某个面中，我们只有x,yx,yx,y两个变量，对它们进行变换，利用叉积dxdy=∣(x1−x0)(y3−y0)−(x3−x0)(y1−y0)∣≈∣∂x∂ξ∂y∂η−∂x∂η∂y∂ξ∣dξdη=∣J3∣dξdη\mathrm dx\,\mathrm dy=|(x_1-x_0)(y_3-y_0)-(x_3-x_0)(y_1-y_0)|\approx|\frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial\eta}-\frac{\partial x}{\partial\eta}\frac{\partial y}{\partial\xi}|\,\mathrm d\xi \,\mathrm d\eta=|J_3|\,\mathrm d\xi\mathrm d\etadxdy=∣(x1−x0)(y3−y0)−(x3−x0)(y1−y0)∣≈∣∂ξ∂x∂η∂y−∂η∂x∂ξ∂y∣dξdη=∣J3∣dξdη，类似可得其他两个Jacobi式。
方向余弦是在这个2to3映射空间中定义的，每个维度上都有一定的转化尺度，用Jacobi式衡量。方向余弦的大小不仅有几何意义，还可以反映某个转化尺度的大小。
某个几何面上的微元除以方向余弦，就可以表示成这个几何面和S曲面的关系，我们还可以进一步利用这个几何面和映射虚面上微元dudv\mathrm du\,\mathrm dvdudv的关系，可知这个大根式即可转化为虚面上的。

简要总结：S，xOz，xOy，yOz都是几何面。我们需要利用Jacobi式衡量的，都与换元的转换尺度有关。

第二型曲面积分

双侧曲面

返回起始点时法向量指向始终不变

性质

有向性（重要）所以慎用奇偶性
线性性质
分片曲面同向可加性

计算（重要）

转化成仅有常数+几何意义可解的问题是少见但有效的。
通常用坐标法求解。代入转化为二重积分。
一般转化方法：∬ΣR(x,y,z)dxdy=∬DR[x,y,z(x,y)]dxdy\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_DR[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dyΣ∬R(x,y,z)dxdy=D∬R[x,y,z(x,y)]dxdy
公式总结如下
∬SF→⋅n→dS∬DPdydz+Qdzdx+Rdxdy±∬DP(−fx)+Q(−fy)+Rdσ...(dxdy)±∬DF→(u,v)ru×rv∣ru×rv∣EG−F2dudv\iint\limits_S\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS\\ \iint\limits_DP\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\ \pm\iint\limits_DP(-f_x)+Q(-f_y)+R\,\mathrm d\sigma...(\,\mathrm dx\,\mathrm dy) \\ \pm\iint\limits_D\overrightarrow{F}(u,v)\frac{r_u\times r_v}{|r_u\times r_v|}\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm du\,\mathrm dv S∬F⋅ndSD∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy±D∬P(−fx)+Q(−fy)+Rdσ...(dxdy)±D∬F(u,v)∣ru×rv∣ru×rvEG−F2dudv
其中∣ru×rv∣=EG−F2\left|r_u\times r_v\right|=\sqrt{EG-F^2}∣ru×rv∣=EG−F2

这里的ru,rvr_u,r_vru,rv，rrr是一个二维(u,v)(u,v)(u,v)映射到(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)的三维曲面的两个偏导数。分别都是一个切向量。他们的叉乘方向与法向量相同。单位化之后即得n→\overrightarrow{n}n

总结：两型面和重积分的关系

∬ΣR(x,y,z)dxdy=∬DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy Σ∬R(x,y,z)dxdy=Dxy∬R[x,y,z(x,y)]dxdy
从而二型曲面积分可以有如下的转化：
∬ΣF→⋅dS→=∬ΣF→⋅n→dS=∬Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)dS=∬DPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint\limits_\Sigma\overrightarrow{F}\cdot\mathrm d\overrightarrow{S}=\iint\limits_\Sigma \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS\\=\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm dS\\=\iint\limits_D P\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\,\mathrm dx\,\mathrm dy Σ∬F⋅dS=Σ∬F⋅ndS=Σ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS=D∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
二型曲面积分可以通过投影的方式转化成三个一型面相加。

经过方向余弦代入，我们的结论也可以写成：
∬Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)=∬D(P(−fx)+Q(−fy)+R)dxdy\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\\ =\iint\limits_D\left(P(-f_x)+Q(-f_y)+R\,\right)\mathrm dx\,\mathrm dy Σ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)=D∬(P(−fx)+Q(−fy)+R)dxdy
这个统一区域的形式，看起来会好用很多！

几何意义其实不用考虑过多，在某些程度上说，这是一个由于偏导数连续引起的代数结果。几何意义可可以理解成是法向量的朝向的转换。

这样我们就建立了一二型面之间的关系

Gauss公式和Stokes公式

Gauss公式

建立二型面和三重积分的关系
物理意义：散度（由于法向量朝外从而对应-Q）
<整个曲面的散度之和叫做通量，对比Gauss定理的一般形式和积分形式>

各种“散度”

N-L公式(0D-1D)
∫abf(x)dx=F(x)∣ab\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(x)\Big|_a^b ∫abf(x)dx=F(x)∣∣∣ab
平面场散度(1D-2D)
∮L+F→⋅n→dℓ=∬D(∂P∂x+∂Q∂y)dxdy\oint\limits_{L^+}\overrightarrow{\bm F}\cdot\overrightarrow{\bm n}\,\mathrm d\ell=\iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy L+∮F⋅ndℓ=D∬(∂x∂P+∂y∂Q)dxdy
Gauss公式(2D-3D)
∯S+(P,Q,R)⋅n→dS=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint\limits_{S^+}(P,Q,R)\cdot\overrightarrow{\bm n}\,\mathrm dS=\iiint\limits_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,\mathrm dV S+∬(P,Q,R)⋅ndS=Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV
其实Green公式和Stokes公式也可以有类似的观点。

Stokes公式

是Green公式的高维形式。
∮L+Pdx+Qdy+Rdz=∬S+(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint\limits_{L^+}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz=\iint\limits_{S^+}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)\,\mathrm dz\,\mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy L+∮Pdx+Qdy+Rdz=S+∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
轮换，借助三阶行列式记忆。证明见北大P116，D124

外微分与统一

一阶外微分

从普通的微分和全微分——到
外微分-恰当微分

统一公式（重要）

∫∂Ωω=∫Ωdω\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega\,\mathrm d\omega ∫∂Ωω=∫Ωdω

外微分的计算（掌握即可）

dω(xi→)=∑i=1n∑j=1n∂fi∂xjdxi\mathrm d \omega(\overrightarrow{x_i})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\,\mathrm dx_i dω(xi)=i=1∑nj=1∑n∂xj∂fidxi

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