函数的四大特性【概念向 + 图片解释】
一、有界性
x在 区间D 上(函数的有界性一定是针对某一区间的),存在
例如,对于函数来说,图像如下所示
当在时,函数有界f(x) <= 0.5
x \in (2 , +\infty )
当时,则函数无界
二、单调性
在定义域上任取 ,若
,
则为增函数;反之则为减函数
导数法
我们对f(x)求导后,当函数单调递增——
↑
;反之则单调递减——↓
定义法
千万别忘记定义法了!!!
因为数列是离散的,没办法求导,所以在求数列的单调性时是有大用的
若出现这种情况,则单调不减
(多了一个等号)
三、奇偶性(最重要的性质!!!)
首先必须满足 定义域关于原点对称
!!!
通常我们的判别是基于和
进行判别的。
- 若为前者——奇函数(关于原点对称)
- 若为后者——偶函数(关于y轴对称)
常见表达式
F(x) = f(x) - f(-x)
例如:
上面当然就是奇函数了,但是为什么要除以2
呢?
\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}
问题一:为什么ex - e-x是奇函数呢?
我们可以从
函数变换角度
来理解,首先ex 通过x轴翻转,到第四区间然后再由前面的
-号
,关于 y轴 翻转,到达第三区间这样就和ex的第一区间(定义域关于原点对称,然后值为相反数了)——满足奇函数定义
问题二:为什么要/2呢?
因为
/2
之后有重要含义,我们先观察一下这个函数的图像
这个函数叫 双曲正弦线。
现在我们来看看另一个表达式
,这个式子经常会出现在外面的数学题中。他们之间有不可告人的秘密
!!!!他们之间互为反函数!!!!
我们再在图中画出该函数和
y = x
- 绿色的就是对数的这个函数
- 红色的就是指数的函数
那么这个函数求导之后是谁呢?
这个积分之后呢就是
我们甚至可以把1给替换成a^2
问题三:为什么要叫双曲正弦?
因为后面有
幂级数展开式
,和
全部都可以展开。
他们又都是奇函数,那么所有的偶数项都抵消了,只剩奇数次方
它展开的分母就是_
奇数式阶乘
当我们看见 奇数式阶乘 ,除了
sinx
,还要想到这一个函数ex - e-x / 2
!!!(后面会填充原因)
F(x) = f(x) + f(-x)
和上面的奇函数类型,我们同样可以写一个偶函数出来
例如——双曲余弦
这个函数恰好就是我们戴项链时,项链符合的函数,也叫作
悬链线
——这可是达芬奇画画时纠结画项链时的函数呢,他到死也不知道这是什么函数。这可不是简单的抛物线
200年后,一个数学家才搞清楚了,这叫悬链线(这个函数时其中的一种)
图像如下
F(x) = 1/2 [ f(x) + f(-x) ] + 1/2 [ f(x) - f(-x) ]
任何一个函数都可以写成一个奇函数 和 一个偶函数的和
这个世界是公平的,“数学我讨厌死你,要是我研究生不要用,你以为我会学你?”
你这么说,她会怎么想啊……对人对事应该都要一样的,真心待她,她终将会回报与你!
奇函数
因为它关于原点对称,所以
如果它在零点有定义,那么
这是一个隐蔽条件啊!!!
比如说,若f(x)在闭区间[ -1 , 1]是可导的奇函数,那么必有f(0) = 0
问题:为什么可导就一定有定义了?
因为可导必连续,连续必在这个点有定义。然后它有包含了数值为0的点
偶函数
因为它关于 Y轴对称,所以当
存在时
必有
(切线一定水平)
与结论:当f(x)是可导的偶函数,那么导函数f’(x)就一定是奇函数 相对应
因为函数在0点有定义,所以必有 f(0) = 0
但是一般情况下,不在时简单的关于y轴对称了,而是关于某一个 x = T
对称
如果有这样一个函数关于x = T对称,那么我任取一点
所以,我们可以得到
当令我们T - x = t
,即 x = T - t
带入原式,即
替换回原始式子得到
所以,我们得到当f(x) 关于直线
x = T
对称时,充分必要条件是
f(x) = f(2T - x)
f(x + T) = f(T - x)
四、周期性
设f(x)定义域D,使得f(x + T) = f(x)
这在我们后面的
一元积分学
中有重要用途,例如说在一个周期上的积分值
,与起点无关
现在我们进行证明,定积分的几何意义——曲边梯形的面积
也就是这个脸的面积
那么如果变成 a 到 a + T,就相当于我们同时移动两支笔,中间所夹面积不变!
因为左边少多少,右边就会多多少
那如果这个函数是 奇函数
,那么这个数值会等于几呢?
我们可以换算成
(取a = -T / 2)然后因为奇函数关于原点对称,所以等于0!!!
神秘的数字——0
0在数量上是没有的,所以在 + / -
的时候不体现!!!
我们知道拉格朗日中值定理,中间就涉及到 减法,式子如下
见到
f - f
,立即将拉格朗日写出来!!
然后出题老师就只出f
了,所以就需要我们将其补全成f(b) - f(0)
若f(a) = 0,则f(b) = f(b) - f(a) => 拉格朗日
神秘的数字——1
1在 * 和 /
的时候不体现!!!
若1 = e0 ,则eb - 1 = eb - e0 => f(b) - f(a) => 拉格朗日
若x > 0,证明 f(x) > f(1) x
将两边同时除以x,即证明
求导之后研究其单调性
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