1.允许空盒

问题描述

n个相同的小球，放入m个相同的盒子里，允许有空盒，问有多少种不同的方法？

解题思路

f(i,k) 表示把 i 个相同的小球放入 k 个相同的盒子中且允许有空盒的放法数。
(1) 把 i 个小球放入到 k 个盒子中，如果盒子数 k 比小球数i还要多，那么一定有空的盒子，这时只考虑 i 个盒子即可。
(2) 若盒子数不超过小球数，则对方法进行分类，分成两类：有盒子为空的放法和没盒子为空的放法。
(2.1) 有盒子为空的放法：先拿走一个盒子，把 i 个小球放入 k - 1 个盒子中，有f(i,k-1) 种放法。
(2.2) 没盒子为空的放法：先从 i 个小球中拿出 k 个，每个盒子先放一个，这样 k 个盒子中至少有 k 个小球了，剩下的 i - k 个小球，再放到 k 个盒子中，有**f(i-k, k)**种放法。

边界条件
5个小球放入1个盒子，显然只有一种放法，f(5, 1) = f(5, 0) + f(4, 1)。f(4, 1)也显然为1，于是f(5, 0)应该就是0。同样我们也可以分析出发f(1, 0) = 0。
1个小球放入1个盒子中，f(1, 1) = f(1, 0) + f(0, 1)，而f(0, 1)等于f(0, 0)，它们都等于1。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int f(int i, int j)
{if(i < j)return f(i, i);if(i == 0)return 1; //特别注意这两个出口条件的顺序，要是先判断k == 0就返回0.这样就错了if(j == 0)return 0;return f(i, j - 1) + f(i - j, j);
}
int main()
{int i, j;cin >> i >> j;cout << f(i, j) << endl;return 0;
}

2.不允许空盒

问题描述

n个相同的小球，放入m个相同的盒子里，不允许有空盒，问有多少种不同的方法？

解题思路

step表示当前剩余的小球需要分成的盒子数
把n分成k份，只需第⼀个盒子中小球数等于i，计算从i等于1⼀直到i等于n/k，然后把剩余的n-i分成k-1份的种类数…
pre为前一个小盒中的球数，每次i从pre开始⼀直到n/step结束，这样才能保证每个小盒中的小球数是不递减的，才能保证不会有重复的情况产⽣

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int cnt = 0;
void dfs(int pre, int n, int step)
{if(step == 1) {cnt++;return;}for(int i = pre; i <= n / step; i++)dfs(i, n - i, step - 1);
}
int main() {int n, k;cin >> n >> k;dfs(1, n, k);cout << cnt << endl;return 0;
}

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递归实现放小球(整数划分)问题

1.允许空盒

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