十七世纪的常用对数表是怎么算出来的

十七世纪的常用对数表是怎么算出来的

前不久，在网上看到了金泽长街小牛先生的博文《回到十七世纪，让我来编算一本常用对数表》，受益匪浅。在我上中学时，也曾对数学用表中的对数和三角函数值是怎么算出来的感到好奇，但始终不得其解。中学时学的是四位对数表，后来也见到过八位对数表和十位对数表，但看不懂，不会用。读过小牛先生的文章后，不仅知道了对数表是怎么算出来的，也豁然明白八位对数表是怎么回事了。受小牛先生博文启发，我也想到了一种更为简单精确的计算常用对数表的方法，不用手算开高次方，只需加减乘除开平方，就可以编制出常用对数表，这里介绍出来，与大家分享。

　　　　　第一步、计算第一组基础对数

　　这组基础的对数值是：1/2， 1/4， 1/8， 1/16， 1/32， 1/64， 1/128， 1/256， 1/512， 1/1024， 1/2048， 1/4096， 1/8192共13个。

　　计算的方法很简单，就是不断开平方。在常用对数里，10的对数是1，把10开平方就得到对数1/2的真数值，即√10，把计算结果再开平方就得到对数1/4的真数值，把计算结果再开平方就得到对数1/8的真数值，把计算结果结果再开平方就得到对数1/16的真数值，......一直进行下去，等开到1/8192就可以了。有这13个基础对数值，算8位对数表就够了，如果想要更精确的对数表，可以再多算几个基础对数，这里就不讨论了。

　　开平方是简单的运算，列竖式就可以开出来，开12位有效数字一般不会超过半小时，计算这13个基础对数一个人几小时就可以完成。有了这组基础对数，就可以通过把若干个基础对数相加的方式，计算出从1/8192，2/8192，3/8192，......8191/8192的任何一个对数，这8191个对数在0.0000～1.0000之间均匀分布。

　　　　　第二步、计算第二组基础对数

　　这第二组基础的对数值是：0.5， 0.1， 0.05， 0.01， 0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001共八个。

　　0.5即1/2，在第一组基础对数中就有；0.1=819.2/8192，介于819/8192与820/8192之间，其中

　　819/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+2/8192+1/8192

　　　　=1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192

　　对数相加，真数需相乘，将式中这6个基础对数对应的真数值相乘就可以得到819/8192的真数值。

　　820/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+4/8192

　　　　 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/2048

　　将式中这5个基础对数对应的真数值相乘就可以得到820/8192的真数值。

　　819/8192与820/8192之间的间距仅有1/8192，非常小，可以近似当成直线处理，在算出对数819/8192和820/8192的真数值后，通过“线性内插法”就可以算出对数819.2/8192即0.1对应的真数值。如担心多次相乘以及做线性内插时导致误差积累增大，可以把对数0.1的真数值累乘计算5次方，看与0.5的真数值能否对得上，如有误差，用开方公式做修正，消除误差。由于这样的计算本身已经很精确，误差修正的工作不会太费事。

　　得到对数0.1的真数值后，将之开平方就得到对数0.05的真数值。

　　然后，0.01=81.92/8192，分别计算出对数81/8192和82/8192的真数值，再用“线性内插法”计算出对数0.01的真数值，当然，也要做误差修正。

　　同样的方法，可以计算出对数0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001的真数值。

　　在算出这一组8个基础对数之后，就可以计算编制反对数表了。

　　　　　第三步、计算编制反对数表

　　用对数做乘、除、乘方、开方运算得到的对数值，最终都要通过查反对数表才能得到真数，所以，反对数表是迟早必须要编的，而反对数表在计算方法上没有障碍，所以应该首先计算编制。有反对数表之后，再计算对数表就容易多了。

　　有了对数0.5和0.1对应的真数值，就可以计算出从0.1，0.2，0.3，...0.9这9个对数对应的真数值了，这9个对数构成的反对数表可以叫一级反对数表。计算的方法很简单，就是对数相加，真数相乘，比如0.6的对数，对数0.6=0.5+0.1，所对应的真数就是

　　3.162277660168*1.258925411794=3.98107170553...

　　有了对数0.05和0.01对应的真数值以及一级反对数表，很容易就可以计算出从0.01,0.02,0.03，...0.99这99个对数对应的真数值，这99个对数构成的反对数表可以叫二级反对数表。计算的方法与前面相同，即对数相加，真数相乘。

　　有了对数0.005和0.001对应的真数值以及二级反对数表，就可以计算出从0.001,0.002,0.003，...0.999这999个对数对应的真数值，这999个对数构成的反对数表可以叫三级反对数表。计算的方法与前面相同。

　　有了对数0.0005和0.0001对应的真数值，就可以计算出从0.0001，0.0002，0.0003，...0.9999这9999个对数对应的真数值了，这9999个对数构成的反对数表可以叫四级反对数表。有四级反对数表应该就够了。要计算编制包含99999个对数的五级反对数表不是做不到，而是有没有必要，值不值得做。

　　编制时要先完成一级反对数表，然后再扩充到二级反对数表、三级反对数表、四级反对数表，不要用很小的对数累乘得到大的对数，以避免误差累积增大。

　　这样计算出的反对数表非常齐整，而且精确度有充分保证。

　　扩充计算对数表只用两数相乘，不用除法。我觉得乘法比除法简单，工作量小。比如两个有10位有效数字的数相乘，会得到一个大约有20位的数字，但我们只要10位有效数字，后面的那些位数都要舍去，既然不需要，为什么要乘出来？所以在列竖式相乘时，那些注定不会加到前12位的数字，主要是乘数的后几位与被乘数的后几位相乘的数字，根本就别乘，直接画0补位，只要前12位，多出的两位用于四舍五入，故而乘法可以减少计算量。

　　在编制反对数表过程中已经可以多找人手分摊工作量了。以前在书上看到过去有“制表工人”一说，应该是指专门从事计算制表的工作人员，如果是职业熟练工人，那应该会掌握很多计算技巧，计算速度也会快过常人，以我估计的计算量，如果有几十人同时工作，两三周做出反对数表应该没问题。

第四步，计算给定真数的对数值，编制常用对数表

　　在有了反对数表之后，再计算编制常用对数表就好办了，而且精确度有保证。方法就是“线性内插法”。以求2的对数为例，在反对数表里可以查到，对数0.3010对应的真数是1.9998618696，对数0.3011对应的真数是2.0003224078，那就在0.3010和0.3011之间做线性内插，求2的对数值，由于1.9998618696与2.0003224078的间距非常微小，所以得到的2的对数值也必是非常精准的。

　　从1.001～9.999之间的所有数都可以用这种“线性内插”法算出，用这8999个数就可以编制出一个完整的常用对数表，而且精度极佳，只不过要计算8999个数据，计算量颇大。

　　如果先算出那些质数（即素数）的对数，合数的对数由其质因子的对数相加而得到，计算量就可以大幅减少。

　　10000以内的质数仅有1229个，而且那些较大的质数，其对数可以用两对数平均值算出，例如8663是个素数，在算出8662和8664这两个数的对数后，8663的对数就是8662和8664这两个数的对数的平均值。平均值计算实际也是“线性内插”，但要简单得多，真正需要用比较麻烦的“线性内插”计算的质数只有几百个，合数的对数由其约数的对数相加得到，这种制表方法计算量要少一些，但精度也要稍逊一些。总的来说，编制对数表要比反对数表计算量要少一些。

　　编制八位常用对数表和反对数表，计算量巨大，个人很难独力完成，如果有几十个人分工合作，一两个月制出常用对数表和反对数表，应该不算什么大问题。

　　计算编制常用对数表的工作也一样可以找多人分担，以加快速度。

　　对数函数不是直线函数，做线性内插必会有误差，误差大小决定于插值区间大小，区间越小，误差也越小。若想要更精确的对数表，我认为应该多增加算几个基础对数，尽量减小插值区间。第二组基础对数值必须进行检验，消除误差。

上面就是我对常用对数表计算方法的思考。时隔几百年，十七世纪的常用对数表究竟是不是这样算出来的，有没有更好的方法就不知道了。以我的看法，本文叙述的方法已经足够简单精确了，没有技术障碍，若组织好了，即便是一些中学生也能完成这样的计算编制工作。

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