离散数学及其应用 第三章：命题逻辑
命题逻辑
- 命题
- 原子命题
- 复合命题
- 命题联结词
- 联结词的难点
- 需要注意以下几点：
- 命题公式
- 命题公式的分类
- 基本等价关系
- 联结词的完备集
- 公式的标准型---范式
- 析取范式和合取范式
- 极大项和极小项
- 极大项与极小项的编码
- 写主析取范式
命题
具有确切真值的陈述句称为命题
原子命题
不能再分解为更简单命题的命题
复合命题
可以分解为更简单命题的命题
命题联结词
| 联结词 | 记号 |
|---|---|
| 否定 | ¬\neg¬ |
| 合取 | ∧\land∧ |
| 析取 | ∨\lor∨ |
| 蕴含 | →\to→ |
| 等价 | ↔\leftrightarrow↔ |
注意这里的顺序也就是联结词的优先级哦，依次是：否定、合取、析取、蕴含、等价
联结词的难点
联结词别的都还好，主要是蕴含联结词（→\to→），超级容易出错，下面举几个例子
- 如果周末天气晴朗，那么学院将组织我们到石像湖春游
如果A那么B，写成联结词的形式就是A→\to→B，表示条件成立，则一定要做什么，如果条件不成立，则可做可不做，从蕴含联结词的真值表可以看出。 - 只有明天不是雨夹雪，我才去学校
只有A才B，这种不能写成A→\to→B，因为我们可以这么想，我只要去了学校，那么明天肯定不是雨夹雪，如果是A→\to→B的形式，那B成立，A可以成立，可以不成立，显然这是不正确的。应写为B→\to→A - 除非你陪伴我或代我叫车，否则我将出不去
除非···否则不···，表示如果前件不发生，我一定不做什么；或者说如果我做了什么，前件一定发生，其实和只有才一样，是B→\to→A的形式
需要注意以下几点：
- 联结词“¬\neg¬”是自然语言中的“非”“不”和“没有”等的逻辑抽象
- 联结词“∧\land∧”是自然语言的“并且”“既···又···”“但“”和”等概念抽象
- 可兼或（∨\lor∨）不可兼或（∨ˉ\bar{\lor}∨ˉ），后者是¬(A↔B)\neg(A\leftrightarrow B)¬(A↔B)的简写
命题公式
生成规则：
- 命题变元本身是一个公式
- 如果GGG是公式，则（¬G\neg G¬G）也是公式
- 如果G,HG,HG,H是公式，则（G∧HG\land HG∧H），（G∨HG\lor HG∨H），（G→HG\to HG→H），（G↔HG\leftrightarrow HG↔H）也是公式
- 仅通过有限步地使用规则1,2,3所得到的符号串才是命题公式
命题公式的分类
- 永真公式（重言式）
- 永假公式（矛盾式）
- 可满足式
基本等价关系
联结词的完备集
需要新学习几个联结词：与非↑\uparrow↑、或非↓\downarrow↓从字面意思就可以理解是A和B先进行与或者是或运算再取否定
- 对于任一个命题公式,都有S中的联结词所表示出来的命题公式与之等价,则称S是完备的联结词集合,或者说S是联结词的完备集
- 对于一个完备的联结词集合S,从S中任意删去一种联结词后,得到一个新的联结词集合S1S_1S1,至少有一个公式不等价于仅包含S1S_1S1中联结词所表示的任一公式,则称S为最小完备的联结词集合
公式的标准型—范式
析取范式和合取范式
- 命题变元或命题变元的否定称为文字
- 有限个文字的析取称为析取式,也称为子句
- 有限个文字的合取称为合取式,也称为短语
- 有限个短语的析取式称为析取范式
- 有限个子句的合取式称为合取范式
极大项和极小项
每个命题变元和它的否定不同时存在,但二者之一恰好出现,并且只出现一次,这样的短语称为极小项,这样的子句称为极大项.
极大项与极小项的编码
使极小项真值为1的那组真值指定为极小项的编码,命题变元与1对应,命题变元的否定与0对应
使极大项真值为0的那组真值指定为极大项的编码,命题变元与0对应,命题变元的否定与1对应
任意两个不同的极小项的合取必为0,任意两个不同的极大项的析取必为1.
写主析取范式
若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所规定的命题变元,如缺少PPP,则可用公式:
(¬P∨P)∧Q=Q(\neg P\lor P)\land Q=Q (¬P∨P)∧Q=Q
若合取范式的某一个短句中缺少该命题公式中所规定的命题变元,如缺少PPP,则可用公式:
(¬P∧P)∨Q=Q(\neg P\land P)\lor Q=Q (¬P∧P)∨Q=Q
利用真值表技术求主析取范式时,找真值为1的,求主合取范式时,找真值为0的.
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