MIT线性代数：8.求解Ax=b：可解性和解的结构

1.Ax=b

最后消元得到：

所以可以得出有解的条件是：

1.1Ax=b可解性

（1）从列空间看：b必须满足是A各列的线性组合，当然这也是方程组有解的要求。

（2）如果A的各行经过线性组合得到零行，那么b经过相同的线性组合也必须得到零行。

1.2Ax=b的解结构

1.特解（Xp）：

经过消元之后，把自由变量全赋值为0（自由变量可以自由赋值，自由变量是经过特定赋值的解叫做特解），并求得主元的值，这样就构成了特解。

对于上面的例子我们可以解出特解：

2.通解（Xn（Null space））：

我们把AXn=0的解加上AXp=b的解相加，就得到Ax=b的所有解。

证明：

我们利用上节课的知识，求出零空间的特解，加上Ax=b的特解就是所有解：

但它不是子空间，因为Xp是原点上方的一点，Xn是过原点的平面，但是解是他们俩相加，也就是过Xp的平面（不过原点）。

2.秩r与Ax=b的解关系

对于一个m*n的矩阵，秩r满足r<=m，r<=n。

2.1列满秩（r=n）

那么就意味着主元变量为n，没有自由变量，此时零空间N(A)只有零向量，因为没有自由变量可以赋值，所以列的线性组合得不到0（因为如果存在非零x使得Ax=0成立，那么A中有一列是没有贡献的，既然没有贡献，那么也就不存在列满秩的情况了）。那么Ax=b的解如何呢？要不0个解，要不1个解等于Xp。

所以列满秩的解的情况：0或1个解。

举例：

上述矩阵消元后符合r=n的情况。同时我也一眼能看出来有两个行是多余的，肯定R 下面会有两个0 行，因为行向量是2 维的，因为前两行是线性无关的，2 维平面中有两个向量线性无关，那该平面的所有向量都可以由这两个向量线性组合得到，所有会出现两个0 行。

若此时的b为A中列空间的线性组合（4,3,7,6）时，存在特解Xp（1,1），如果不是列空间的线性组合则无解。

2.2行满秩（r=m<n）

每行都有主元，不存在0行，那么b就没有要求，而且有n-m个自由变量，所以解有无穷多个。

举例：

2.3r=m=n

代表的是满秩方阵，消元到最简形式是单位矩阵，是一个可逆矩阵，结合r=m和r=n的解的情况得出此时一定有一个解b，b满足是A向量的线性组合。

总结：

1. r=m=n R=I 有唯一解b 是A 列向量的线性组合
2. r=n<m 有0 解（无解）或唯一解b 如果恰好是A 的列的线性组合则有唯一解
3. r=m<n 有无穷个解特解+零空间
4. r<m,r<n 有0 解或无穷解如果b 的行和A 的行向量之间有相同的组合关系，那有无穷解，否
则有0 解