运算方法和运算器——定点加法减法运算

一、补码加法
[X+Y]_补=[X]_补+[Y]_补
证明：
①、X>0 Y>0
[X]_补+[Y]_补=X+Y
=[X+Y]_补
②、X>0 Y<0
[X]_补+[Y]_补=X+Y+2ⁿ⁺¹
=[X+Y]_补
③、X<0 Y>0
[X]_补+[Y]_补=X+Y+2ⁿ⁺¹
=[X+Y]_补
④、X<0 Y<0
[X]_补+[Y]_补=X+Y+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹
=[X+Y]_补

二、补码减法
[X-Y]_补=[X]_补-[Y]_补=[X]_补+[-Y]_补
从[Y]_补求[-Y]_补的法制：按位取反且末位加一，也就是将[Y]_补从右向左第一个1开始左边全部取反(不包括这个1)，右边保持不变(包括这个1)

三、溢出的概念及检测方法
1、溢出：在运算过程中出现大于字长所表示的范围
正溢(上溢)：两正数相加，结果大于机器所能表示最大正数
负溢(下溢)：两负数相加，几个小于机器所能表示最小负数
溢出的实质是最高位产生了进位
2、溢出的判定方法
(1)、单符号位法

C_f为符号位产生的进位 C₀为最高有效位产生的进位
溢出检测：V=C_f⊕C₀
(2)、双符号位法：用两个符号位表示一个数据，也称“变形补码”

结果两个符号位一致则没有溢出，不一致则有溢出
V=S_f1⊕S_f2

四、基本的二进制加法/减法器
1、半加器：两个二进制位相加

2、全加器
输入：加数A_i、B_i、低位进位C_i
输出：和数S_i、进位C_i+1
S_i=A_i⊕B_i⊕C_i
C_i+1=A_iB_i+B_iC_i+A_iC_i
=A_iB_i+(A_i⊕B_i)C_i
(1)、FA逻辑电路和框图

(2)、4位单符号补码加法器

(3)、补码减法
[X]_补-[Y]_补=[X]_补+[-Y]_补
求[-Y]_补方法：将[Y]_补连同符号位一起逐位取反末尾加一

(4)、4位补码加法器

进位依次从低位传递至高位，称为行波进位
(5)、n位行波进位补码加法器

五、加法器是算数运算电路的核心
1、所有算数运算都基于加法器实现
2、加法器不区分符号数和无符号数

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