矩阵的相似推导及其意义

前言

这篇文章从上一篇文章李宏毅《Linear Algebra》学习笔记中单摘出来的一部分，由于上一篇篇幅较长，所以单拿出来记录在这里。
本文从坐标系 → 函数在不同坐标系的不同表示来引入similar（相似）的概念。

正文

1.Coordinate System（坐标系）

坐标系就相当于基准，便于将一个向量变得有意义，同一个向量在不同的基准下表示的内容自然不同。
拿下图举例，在左图中表示为[84][8\ \ 4][8 4]的向量，在右图的坐标系中却被表示为[6−2][6\ \ -2][6 −2].

满足下面两条的向量才可以被作为一个坐标系的基准

此向量组B\mathcal{B}B 张成 RnR^nRn
此向量组线性无关

将这两个条件结合在一起，不难发现这其实就是子空间的基的定义。因此，子空间的基就是子空间的坐标系的基准。

之所以使用子空间的基作为坐标系的基准，是因为这样才能保证每个向量都有唯一的表示方法。
证明：
假设对每个向量都有两个不同的表示方法，那么将这两种不同的表示方法代入得出的结果应该是相等的，又因为基B\mathcal BB是线性无关的，当且仅当an=bna_n=b_nan=bn时成立，因此不存在两种不同的表示。也就是以basis作为基准的坐标系中，每个向量只存在唯一的表示方法。

设BBB为子空间的基，[v]B[v]_{\mathcal{B}}[v]B为笛卡尔坐标系下的vvv 向量在其他坐标系B\mathcal{B}B 下的表示。
笛卡尔坐标系与其他坐标系间的转换

（1）其他坐标系 → 直角坐标系：v=B[v]Bv=B[v]_{\mathcal{B}}v=B[v]B

（2）直角坐标系 → 其他坐标系： [v]B=B−1v[v]_{\mathcal{B}}=B^{-1}v[v]B=B−1v

可以这样类比理解：
kkk位的NNN进制转化为十进制需要从低位开始依次用系数乘以NkN^kNk。
又因为基 B\mathcal BB 一定线性无关，所以可以用与矩阵的逆相乘的方式求出反向的解。

2.similar（相似）

这里是以坐标系的变换来引入“相似”这个概念的。
假设在笛卡尔坐标系中的一个点[x1x2][x_1\ x_2][x1 x2]，经过一条已知直线L\boldsymbol LL 的翻转对应的点为T([x1x2])T([x_1\ x_2])T([x1 x2])，求翻转的线性关系（一个矩阵）。

对于求一个点关于直线L\boldsymbol LL 翻转的线性关系，由于这条直线并非xxx轴或者yyy轴，因此翻转对应的线性关系很难得出。
假设我们以xxx 轴为镜面进行翻转，线性关系是很容易得到的。 因为笛卡尔坐标系可以理解为是二维的单位矩阵：[1001]\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}[1001]；翻转后，相当于xxx轴元素不变，yyy轴变为−y-y−y，因此线性关系可以表示为：T=[100−1]T=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}T=[100−1].

基于这种思想，可以利用上一小节学到的知识，通过变换坐标系的方法来求解关系TTT：

将直线L\boldsymbol LL 作为新的坐标系的xxx轴，取与之垂直向上的向量作为 yyy轴，建立新坐标系。
新坐标系下，翻转关系[T]B=[100−1][T]_{\boldsymbol B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}[T]B=[100−1]
根据新坐标系下的[T]B[T]_{\boldsymbol B}[T]B，求出笛卡尔坐标系的TTT.

那么，笛卡尔坐标系下的TTT 应该怎么求呢？下面是分析过程：
对照下面的图，位于下方的是笛卡尔坐标系，位于上方的是 B\boldsymbol BB坐标系，笛卡尔坐标系中的vvv 通过关系[T][T][T] 变为输出结果T(v)T(v)T(v).
对于其他坐标系，在上一小节提到过二者的变换关系，即：[v]B=B−1v[v]_{\boldsymbol B}={\boldsymbol B}^{-1}v[v]B=B−1v，根据这个变换关系，进而求得笛卡尔坐标系到其他坐标系的函数变换。

事实上，v→T(v)v→T(v)v→T(v) 与 v→[v]B→[T(v)]B→T(v)v→[v]_{\boldsymbol B}→[T(v)]_{\boldsymbol B}→T(v)v→[v]B→[T(v)]B→T(v) 是殊途同归的，因此，[T][T][T]可以表示为：
[T]=B−1[T]BB[T]={\boldsymbol B}^{-1}[T]_{\boldsymbol B}{\boldsymbol B}[T]=B−1[T]BB写成一般情况也就是：
[T]B=B−1AB[T]_{\boldsymbol B}={\boldsymbol B}^{-1}{\boldsymbol A}{\boldsymbol B}[T]B=B−1AB 不难发现，[T]B[T]_{\boldsymbol B}[T]B与[T][T][T] 虽然所处的坐标系不同，但是它们想要实现的作用是相同的——参考上面的例子，二者均实现翻转的功能。对于这样的变换[T][T][T]与[T]B[T]_{\boldsymbol B}[T]B，就将它们叫做相似（similar）。
简单地说，一个用来表示某线性变换的矩阵，它的相似矩阵也就是此线性关系在另一个新坐标系中的表示。