motivation：

记录一些fmincon使用方法和应对一些问题的解决方法

1.简介：

在MATLAB中，使用函数x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

即可调用fmincon函数进行约束非线性规划，其中fun为目标函数：

例如：fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

x0为初始值：x0 = [0.5,0]

A和b为线性不等式约束条件的参数，Aeq和beq为线性不等式约束条件的参数(没有使用过，形式如下)：A = [1,2];

b = 1;   % A*x <= b

Aeq = [2,1];

beq = 1;  % Aeq*x <= b

lb为x0中每一维的下限，ub位每一维的上限，形式如下：%表示x0第一维的区间是[0,1]，第二维的区间是[0,2]

lb = [0,0];

ub = [1,2];

nonlcon(Nonlinear constraints)为非线性不等式约束，使用方法如下：

例如：x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

创建约束函数的.m文件function [c,ceq] = mycon(x)

c = [(),...,()]     % Compute nonlinear inequalities at x.

ceq = [(),..,()]   % Compute nonlinear equalities at x.

option为设置fmincon的参数，定义option的形式为：option = optimoptions(@fmincon,'参数名1', 参数值1, '参数名2', 参数值2)

例如：option = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp')

2.option参数的设置

除去option外，传入fmincon的其他参数形式简单，调用起来非常简单，此处不再赘述。以下介绍option中的几个参数。

'Algorithm':

该参数的含义是，为fmincon规划选择算法。可选算法有：'interior - point' (默认算法)

'trust - region - reflective'

'sqp'

'sqp-legacy'(iotimoptions only)

'active - set'

其中，后三种方法为medium-scale算法，不能应对大规模的规划问题。‘trust - region - reflective’ 算法能够应对大规模的规划问题，但是使用‘trust-region-reflective’算法需要满足一些条件。但是官方文档表示，大规模和中规模算法各有优势，不是单纯的数据量大小：Don't let the name "large scale" mislead you; you can use a large-scale algorithm on a small problem. Furthermore, you do not need to specify any sparse matrices to use a large-scale algorithm. Choose a medium-scale algorithm to access extra functionality, such as additional constraint types, or possibly for better performance.

实验发现(使用‘interior - point’算法)，当变量在500个左右，当约束公式的长度减小的时(从70000+项削减到10000+项)，规划时间大大缩短(从170分钟缩短到11分钟)，但是在进行长公式规划的时候，系统占用的cpu和内存并不高，所以可以考虑“将约束条件分组，多线程进行规划，再组合”

官方文档推荐：先使用‘interior-point’算法；(能够快速精确的解决大规模的问题)

在小规模到中规模的问题上运行一个优化，先尝试‘sqp’，再尝试‘active-set’；

合适的时候使用‘trust-region-reflective’，问题必须满足：目标函数包含了梯度，边界和线性约束只能存在一个；

When the Solver Fails

1.开启Iterative Displayoptions = optimoptions('solvername', 'Display','iter')

在执行规划之后打印出参数Iteration     Func-count        f(x)                       Step-size    First-order optimality

1                    4                    -0.841471            1                   0.54

exitflag返回为1的条件是：First-order optimality measure was less thanoptions.OptimalityTolerance, and maximum constraint violation was less thanoptions.ConstraintTolerance.

First-order optimality measure小于thanoptions.OptimalityTolerance，并且maximum constraint violation小于thanoptions.ConstraintTolerance

在实验中发现，返回的exitflag是0时(表示超过最大迭代数)，大部分的非线性约束的不等式的值小于0，部分等于0，其实已经满足的条件，但是程序仍然进行迭代运算，直到超过最大迭代数，而且后期每次迭代的约束方程的值和目标函数已经不发生变化。此时认为已经满足了约束。

另一种情况是，exitflag为0，但是某些非线性约束的不等式方程的值大于0，此时没有满足约束。

所以exitflag = 0包含了两种情况。

可以通过观察First-order optimality measure，将OptimalityTolerance调大，可以将第一种情况分离开来。

‘Solver Takes Too Long’

未完待续