对于单频信号出现频谱泄露的解决办法—

什么是整周期采样？

假设正弦信号的频率f0是△f的整数倍，即有f0=a△f，a是整数，满足这一条件采得的数据称为整周期采样。把这一条件再进一步展开，可得

f0/（fs/N）=a

这说明在已知采样频率fs、数据长度N及正弦信号频率f0下，当满足上式时，该数据对f0信号是整周期采样。

在信号处理中，经常会遇到经窗函数截断以后，有的没有发生泄漏，但有的发生了泄漏。

案例、有一个余弦信号，信号频率30Hz,信号为x(t)=cos(2π×30t),采样频率fs=128Hz，样本长度分别取N=128和N=100，在FFT后作谱图并比较谱图中的差别。程序分两部分，程序如下：

clear all; clc; close all;fs=128;                         % 采样频率
% 第一部分
N=128;                          % 信号长度
t=(0:N-1)/fs;                   % 时间序列
y=cos(2*pi*30*t);               % 余弦信号
Y=fft(y,N);                     % FFT
freq=(0:N/2)*fs/N;              % 按式(2-2-7)设置频率刻度
n2=1:N/2+1;                     % 计算正频率的索引号
Y_abs=abs(Y(n2))*2/N;           % 给出正频率部分的频谱幅值
% 作图
subplot 211; stem(freq,Y_abs,'k')
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('幅值');
title('(a) Fs=128Hz, N=128')
axis([10 50 0 1.2]); % 第二部分
N1=100;                           % 信号长度
t1=(0:N1-1)/fs;                   % 时间序列
y1=cos(2*pi*30*t1);               % 余弦信号
Y1=fft(y1,N1);                    % FFT
freq1=(0:N1/2)*fs/N1;             % 按式(2-2-7)设置频率刻度
n2=1:N1/2+1;                      % 计算正频率的索引号
Y_abs1=abs(Y1(n2))*2/N1;          % 给出正频率部分的频谱幅值
% 作图
subplot 212; stem(freq1,Y_abs1,'k')
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('幅值');
title('(b) Fs=128Hz, N=100')
axis([10 50 0 1.2]); hold on
line([30 30],[0 1],'color',[.6 .6 .6],'linestyle','--');
plot(30,1,'ko','linewidth',5)
set(gcf,'color','w');

运行结果如下：

在程序两部分中用相同的信号，中心频率f0=30，采样频率fs=128，差别仅是FFT的长。在N=128的谱图上只在30Hz处有一条谱线，其他频点的幅值都为0；而在N=100的谱图上有明显的泄漏现象，谱线用黑实线表示。最大两根谱线在30Hz两侧，图中用虚线和黑圈点表示了30Hz的频率点。为什么当N=128时FFT后没有泄漏，而当N=100时FFT后就有泄漏？

分析：可知在加矩形窗之后，单一频率信号的频谱图表达式为

已不是一个单一的δ函数，而是有泄漏的存在。设信号是频率为f0，当取信号为整周期采样时，信号的频率f0=a△f，a=k，f0将与某一条谱线相重合，如同程序第一部分表示的那样，即第k条谱线频率为f0。整周期采样后得到的幅值谱图如图（a）和下图所示。

在整周期采样后得到的XT（w），一样存在着泄漏的可能性，但由于信号频率f0与第k条谱线重合，k±i(i为整数值)的任意谱线正好落在XT（w)的零点上，所以在谱图中就没有显示泄漏现象。
当取信号为非整周期采样时，信号的频率f0不与FFT后某一条谱线重合，而是像案例的程序第二部分表示的那样，f0落在两条谱线的中间，例如落在第k和k+1条谱线之间，其中第条谱线是局部极大值，如图（b）和下图所示。

在非整周期采样时得到的XT（w），一样存在着泄漏的可能性，由于信号频率f0在两条谱线之间，第k条谱线虽是局部的最大值，但不与f0相重合，则k±i（i为整数值）的任意谱线都是XT（w）函数上的非零值，所以在谱图中存在泄漏现象。

为了防止泄漏，对于单频信号可以调整采样频率使之构成整周期采样（例如在电力监测设备中，有的会用锁相技术跟踪信号频率以调整采样频率），但大多数实际信号处理中的信号不是单频（或单频+谐波），而是多频率的，所以泄漏是难免的。在有泄漏的情形中只能想方设法减小泄漏的影响，比如利用窗函数。虽然上述已在截断的讨论中加了矩形窗函数，但矩形窗函数的泄漏是最大的，还有其他窗函数能更好地减少泄漏。

参考文献：MATLAB数字信号处理85个实用案例精讲——入门到进阶；宋知用（编著）

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