(概率四习题

第四章 大数定律及中心极限定理

导 学

——极限论在概率研究中的应用

本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：

独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。

全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。

三个定理。“大数”及“极限”均要求，在实际问题中，充分大即可。§2节主要研究对象为：算术平均值；§4节的主要研究对象为：

，比。

§2节的学习，不妨先从复习入手。第二、三章已熟悉了,先推算出这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中中的很宝贵。定理二是由定理一推得的，关键点为：及，于是可用定理一了。推导本身是一件很愉快的事。

§2节的三个定理可在比对中学习。定理一(契)不要求一定为同分布，(贝)是由定理一(契)的特例。定理二(马)不要求独立或同分布。定理三(辛)不要求一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：,即算术平均值依概率收敛于数学期望。“贝”的结论为：，即频率依概率收敛于概率。这个结论很精致，十分简单了。

翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。

上面这些，可概括为：充分大时，。是的标准化，有：

棣莫佛—拉普拉斯定理改写为：若，则当充分大时，。

由得定义有：

有件事发人深思：，但当充分大后，，即。这表明，当充分大后，单个的是什么，已不重要，而它们的“合力”所演绎的是：正态分布。

在《数理统计》部分，正态分布是绝对的主角。

一 填空题

1. 设随机变量服从几何分布：，则的特征函数为 。

2. 随机变量服从帕斯卡分布：，则的特征函数为 。

3. 设，则的3阶中心矩为 ，4阶中心矩为 。

4. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率为 。

5. 某电子计算机有100个终端，每个终端有80%的时间被使用。若各个终端是否被使用是相互独立的，则至少有15个终端空闲的概率为 。

6. 掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为，点数之平均为，则概率= 。

7. 汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。则一年中售出700辆以上汽车的概率为 。

8．一仪器同时收到50个信号设它们相互独立，且都服从(0，1)内的均匀分布，则= 。

二 计算题

1. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，先随机地取36只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

2．一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2 mm，均方差为0.05 mm，规定总长度为(200.1)mm时产品合格，试求产品合格的概率。

3. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所有舍入误差是独立的且在(-0.5，0.5)上服从均与分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？

4. 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

5. 某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？

6. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5.某天售出300只蛋糕。(1)求这天的收入至少400(元)的概率；(2)求这天售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只得概率。

7. (1)一复杂的系统由100个相互独立起作业的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。

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