抽象函数的对称性和周期性

抽象函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的对称性和周期性，是学习中的一个难点。由于抽象函数具备一般性，难于画出具体的图像，其对称性和周期性不容易理解，因此成为学习中的一个难点。

1 抽像函数在轴对称和中心对称下表达式所满足的关系

命题1：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，则其图像关于x=ax=ax=a对称（轴对称），当且仅当f(x)=f(2a−x)f(x)=f(2a-x)f(x)=f(2a−x)

变式推广：若函数满足f(x+a)=f(b−x)f(x+a)=f(b-x)f(x+a)=f(b−x)，则该函数关于x=a+b2x=\frac{a+b}2x=2a+b对称

命题2：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，则其图像关于点(a,b)(a,b)(a,b)对称（中心对称），当且仅当2b−f(x)=f(2a−x)2b-f(x)=f(2a-x)2b−f(x)=f(2a−x)
注意：若aaa在f(x)f(x)f(x)的定义域中，则必然有f(a)=bf(a)=bf(a)=b

变式推广：若函数满足f(x+a)+f(a−x)=2bf(x+a)+f(a-x)=2bf(x+a)+f(a−x)=2b，则该函数关于点(a,b)(a,b)(a,b)对称

命题3：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，则函数y=f(x+a)y=f(x+a)y=f(x+a)，与函数y=f(b−x)y=f(b-x)y=f(b−x)的图像关于x=b−a2x=\frac{b-a}2x=2b−a对称

2 抽像函数周期性的一些结论

周期函数：若存在数非零的数TTT，使得f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)，则称f(x)f(x)f(x)为周期函数，其中TTT是该函数的一个周期。
显然若TTT为f(x)f(x)f(x)的周期，则kTkTkT也为f(x)f(x)f(x)的周期，其中kkk为非零整数。通常我们只关心正的周期，特别是最小正周期

命题4：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，若有f(x)=−f(x+a)f(x)=-f(x+a)f(x)=−f(x+a)，则2a2a2a为f(x)f(x)f(x)的一个周期。

命题5：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，若有f(x)=mf(x+a)f(x)=\frac m{f(x+a)}f(x)=f(x+a)m，则2a2a2a为f(x)f(x)f(x)的一个周期。

命题6：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，若有f(x)=f(x+a)+f(x−a)f(x)=f(x+a)+f(x-a)f(x)=f(x+a)+f(x−a)，则6a6a6a为f(x)f(x)f(x)的一个周期。

下面三个命题为双对称性导致周期性的命题

命题7-1：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，若有f(x)f(x)f(x)关于x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b对称，其中a≠ba\ne ba=b，则f(x)f(x)f(x)为周期函数，2∣b−a∣2|b-a|2∣b−a∣为其一个周期。
命题7-2：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，若有f(x)f(x)f(x)关于点(a,0),(b,0)(a,0),(b,0)(a,0),(b,0)都对称，其中a≠ba\ne ba=b，则f(x)f(x)f(x)为周期函数，2∣b−a∣2|b-a|2∣b−a∣为其一个周期。
命题7-3：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为RRR，若有f(x)f(x)f(x)关于点(a,0)(a,0)(a,0)中心对称，关于x=bx=bx=b轴对称，其中a≠ba\ne ba=b，则f(x)f(x)f(x)为周期函数，4∣b−a∣4|b-a|4∣b−a∣为其一个周期。

注意：1、周期函数未必存在最小正周期，比如常值函数就没有最小正周期
2、周期函数加周期函数未必是周期函数。比如sin(x)+sin(πx)sin(x)+sin(\pi x)sin(x)+sin(πx)就不是周期函数。

3 真题

设f(x)f(x)f(x)的定义域为RRR，f(x+1)f(x+1)f(x+1)为奇函数，f(x+2)f(x+2)f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]x\in[1,2]x∈[1,2]时f(x)=ax2+bf(x)=ax^2+bf(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6f(0)+f(3)=6f(0)+f(3)=6，则f(92)f(\frac92)f(29)的值为多少？

解：∵f(x+1)\because f(x+1)∵f(x+1)为奇函数
∴f(x+1)=−f(−x+1)\therefore f(x+1)=-f(-x+1)∴f(x+1)=−f(−x+1)
变形得到f(x)=−f(2−x)f(x)=-f(2-x)f(x)=−f(2−x)-------------------------------❶
由此得到(1,0)为对称中心。
∵f(x+2)\because f(x+2)∵f(x+2)为偶函数
∴f(x+2)=f(−x+2)\therefore f(x+2)=f(-x+2)∴f(x+2)=f(−x+2)
变形得到f(x)=f(4−x)f(x)=f(4-x)f(x)=f(4−x)----------------------------------❷
由此得到x=2x=2x=2为对称轴。
由❶❷联立可以得到，−f(2−x)=f(4−x)-f(2-x)=f(4-x)−f(2−x)=f(4−x)，变形得到f(x)=−f(x+2)f(x)=-f(x+2)f(x)=−f(x+2)
根据命题4可知，f(x)f(x)f(x)以4为周期。
由❶可知f(0)=−f(2)f(0)=-f(2)f(0)=−f(2)，由❷可知f(3)=f(1)f(3)=f(1)f(3)=f(1)
所以f(0)+f(3)=f(1)−f(2)=6f(0)+f(3)=f(1)-f(2)=6f(0)+f(3)=f(1)−f(2)=6
根据f(x)f(x)f(x)在[1,2][1,2][1,2]上的表达式，代入可得a=−2a=-2a=−2
根据[1,0][1,0][1,0]为对称中心，可知f(1)=0f(1)=0f(1)=0，由此得到b=2b=2b=2
所以f(x)f(x)f(x)在[1,2][1,2][1,2]上的表达式为f(x)=−2x2+2f(x)=-2x^2+2f(x)=−2x2+2

根据周期性有f(92)=f(4+12)=f(12)=−f(2−12)=−f(32)f(\frac92)=f(4+\frac12)=f(\frac12)=-f(2-\frac12)=-f(\frac32)f(29)=f(4+21)=f(21)=−f(2−21)=−f(23)
而f(32)=−52f(\frac32)=-\frac52f(23)=−25，所以f(92)=52f(\frac92)=\frac52f(29)=25

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