数论基础（1）扩展欧几里得定理

一、引言

扩欧在朴素欧几里得定理中扩展得到，主要用于解决什么问题？
1.求两个数的最大公约数（朴素欧也可以解决这个问题）
2.ax+by=gcd(a,b),求解这个线性不定方程的一组特解。
（补充：贝祖定理：裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1.）

二、关于exgcd的理解

1.代码递归的理解

2.细节的理解
注意ax+by=gcd(a,b)中，a、b要大于0
b如果小于0也这样处理，即，不管a,b符号符合，最后都变成
|a|x+|b|y=gcd(|a|,|b|)

三、代码

void exgcd(int a,int b,int &g,int &x,int &y)
{if(!b){g=b;    x=1;    y=0;}else{exgcd(b,a%b,g,y,x);     y-=x*(a/b);}
}

四、求解模线性方程

ax≡c (mod b)
充要条件：
ax-by=c
于是我们就发现是线性不定方程的形式啦，就可以用扩欧求解

下面还会讲逆元，也是这个思想！

五、例题

青蛙的约会
AC:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define EPS 1E-10using namespace std;ll x,y,m,n,L;
void   gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll  &y)
{if(b==0){d=a;   x=1;    y=0;}else{gcd(b,a%b,d,y,x);    y-=x*(a/b);}
}
void  solve()
{ll t,s;ll g;if(n<m){swap(n,m);swap(x,y);}gcd(n-m,L,g,t,s);if((x-y)%g!=0){printf("Impossible\n");return ;}t*=(x-y)/g;ll tmp=(L/g);cout<<(t%tmp+tmp)%tmp<<endl;  return ;
}
int main()
{cin>>x>>y>>m>>n>>L;solve();return 0;
}

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