题意:

给出一张N个点M条边的有向无环图，1号点为全图唯一的入度为0的点，N号点为全图唯一的出度为0的点
现在你从1号点出发，每单位时间，你有相同的概率走向相邻节点或原地不动。
第 i 单位时间内你的消耗为 i ，
问你走到 N 点的期望消耗。

>> 我是很慢的题面链接 <<

Strategy:基于拓扑的概率dp

状态: dp1[i],dp2[i]dp1[i], dp2[i]dp1[i],dp2[i]从i点到n点的期望路径时间与消耗

目标:dp2[1]dp2[1]dp2[1] 从第一个点到第n个点的期望消耗

边界: dp1[n] = dp[2] = 0

合法判断: 本题无

转移方程:

dp1[cur]=∑dp1[to]out[cur]+1+dp1[cur]out[cur]+1+1dp1[cur] = \sum \frac{dp1[to]}{out[cur] + 1} + \frac{dp1[cur]}{out[cur] + 1} + 1 dp1[cur]=∑out[cur]+1dp1[to]+out[cur]+1dp1[cur]+1

选择儿子的期望选择儿子的概率 + 选择自己的期望选择自己的概率 + 贡献

dp2[cur]=∑dp2[to]out[cur]+1+dp2[cur]out[cur]+1+dp1[cur]dp2[cur] = \sum \frac{dp2[to]}{out[cur] + 1} + \frac{dp2[cur]}{out[cur] + 1} + dp1[cur] dp2[cur]=∑out[cur]+1dp2[to]+out[cur]+1dp2[cur]+dp1[cur]

同上

attention: 注意化简

双倍经验: 拓扑排序+记忆化搜索, 其中记忆化搜索比较无脑, 这题出的非常好,巧妙的考察了关于概率dp知识点, 比赛时想半天没想出来, 看完题解后啧啧称奇, 拍手叫好!

记忆化

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include<iomanip>
#include<map>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define _rep(i, a, b) for (ll i = (a); i <= (b); ++i)
#define _rev(i, a, b) for (ll i = (a); i >= (b); --i)
#define _for(i, a, b) for (ll i = (a); i < (b); ++i)
#define _rof(i, a, b) for (ll i = (a); i > (b); --i)
#define maxm 109
#define oo 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define db double
#define eps 1e-8
#define what_is(x) cerr << #x << " is " << x << "s" << endl;
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define pi acos(-1.0)
const ll maxn = 1e5 + 10;
int head[maxn], cnt, out[maxn], m, n, in[maxn], a[maxn];
db dp1[maxn], dp2[maxn];
struct node
{int nxt, to;
} way[maxn * 2];
void addedge(int from, int to)
{way[++cnt].to = to;way[cnt].nxt = head[from];head[from] = cnt;out[from]++, in[to]++;
}
inline db dfs1(int cur)
{if (dp1[cur] || cur == n)return dp1[cur];db sum = 0;for (int i = head[cur]; i; i = way[i].nxt){int to = way[i].to;sum += dfs1(to);}return dp1[cur] = (sum + 1) / out[cur] + 1;
}
inline db dfs2(int cur)
{if (dp2[cur] || cur == n)return dp2[cur];db sum = 0;for (int i = head[cur]; i; i = way[i].nxt){int to = way[i].to;sum += dfs2(to);}return dp2[cur] = (sum + dp1[cur] * (out[cur] + 1)) / out[cur];
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);int t;cin >> t;while (t--){met(dp1, 0), met(dp2, 0), met(way, 0), met(out, 0), met(in, 0), met(head, 0), cnt = 0;cin >> n >> m;_rep(i, 1, m){int u, v, t;cin >> u >> v;addedge(u, v);}dfs1(1);cout << fixed << setprecision(2) << dfs2(1) << endl;}
}

拓扑递推

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _rep(i, a, b) for (ll i = (a); i <= (b); ++i)
#define _rev(i, a, b) for (ll i = (a); i >= (b); --i)
#define _for(i, a, b) for (ll i = (a); i < (b); ++i)
#define _rof(i, a, b) for (ll i = (a); i > (b); --i)
#define maxm 109
#define oo 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define db double
#define eps 1e-8
#define what_is(x) cerr << #x << " is " << x << "s" << endl;
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define pi acos(-1.0)
const ll maxn = 1e5 + 10;
int head[maxn], cnt, out[maxn], m, n, in[maxn], a[maxn];
db dp1[maxn], dp2[maxn];
struct node
{int nxt, to;
} way[maxn * 2];
void addedge(int from, int to)
{way[++cnt].to = to;way[cnt].nxt = head[from];head[from] = cnt;out[from]++, in[to]++;
}
void top()
{int count = 0;queue<int> q;_rep(i, 1, n){if (!in[i])q.push(i), a[++count] = i;}while (!q.empty()){int cur = q.front();q.pop();for (int i = head[cur]; i; i = way[i].nxt){int to = way[i].to;in[to]--;if (!in[to])q.push(to), a[++count] = to;}}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);int t;cin >> t;while (t--){met(dp1, 0), met(dp2, 0), met(way, 0), met(out, 0), met(in, 0), met(head, 0), cnt = 0;cin >> n >> m;_rep(i, 1, m){int u, v, t;cin >> u >> v;addedge(u, v);}top();_rev(i, n, 1){if (a[i] == n)continue;db sum = 0;for (int j = head[a[i]]; j; j = way[j].nxt){int to = way[j].to;sum += dp1[to];}dp1[a[i]] = (sum + 1) / out[a[i]] + 1;}_rev(i, n, 1){if (a[i] == n)continue;db sum = 0;for (int j = head[a[i]]; j; j = way[j].nxt){int to = way[j].to;sum += dp2[to];}dp2[a[i]] = (sum + dp1[a[i]]*(out[a[i]] + 1)) / out[a[i]];}cout << fixed << setprecision(2) << dp2[1] << endl;}
}

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