实变函数/实分析总结

一、概述。

实变函数，又叫实分析，整本书满满的证明就讲了一个勒贝格积分。

最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性，像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。

为了解决这一问题，勒贝格利用分割值域的方法，使得函数可积。

但是分割出来的值域，只能放在一起，形式集合。

如果我们要求出狄利克雷函数的面积，就需要知道它的边长，也就是长度。

集合本身没有“长度”这一概念，所以需要用测度来得到集合的“长度”。（测度=集合的“长度”）

于是，狄利克雷函数在区间[0,1]的积分=1*m(Q)+0*m(I)。

区间[0,1]的有理数的测度m(Q)=0，区间[0,1]的无理数的测度m(I)=1；所以1*m(Q)+0*m(I)=0。

勒贝格本人举的例子：

假设要数一堆硬币，黎曼积分就是一个一个地数，而勒贝格积分就是先根据硬币的面值分好类，再一小堆一小堆地数。

二、集合。

1、有限覆盖定理。

有一开区间族B（B1到Bk的并)覆盖了闭区间A，那么可以在B中选出有限个开区间（虚线小圆）来覆盖A。

2、区间套定理。

若干个闭区间相交，而且一个比一个小，最后交集为一点（同心圆的圆心）。

3、对等和基数。

集合1和集合2中的元素一一对应，称为对等。对等的集合基数相同，基数可以衡量集合的个数，但是基数不是一个准确的数，而是一个代号。基数又称“势”。

无限集可以与它的真子集对等(有限集没有这个性质)。对等用~来表示。

如：{正整数全体}~{正偶数全体}，令x=正整数，那么正偶数φ(x)=2x。

对等关系具有以下性质：自反性、对称性、传递性。

如果A≠B，但是A~B的真子集，那么B的基数比A大。

伯恩斯坦定理(用于建立对等)，如下：

(0,1) → （0,1）⊆ (0,1] ，(0,1)属于(0,1]的子区间，该子区间与前面的(0,1)对等。

(0,1] → （0,1/2]⊆ (0,1) ，(0,1/2]属于(0,1)的子区间，该子区间与前面的(0,1]对等。

所以(0,1) ~ (0,1]。

4、可数集合。

全体有理数、正整数是可数集合（所有元素都可以一一列出来）。

一一列出的意思是：如正整数，可以用1，2，3，……，正无穷来列出。

5、不可数集合。

全体实数R、无理数是不可数集合（不能一一列出所有元素）。

三、点集。

1、内点、外点、界点、聚点、孤立点。

红点在圆内，为内点；黄点在圆边界，为界点；蓝点在圆外，为外点。

红点和黄点是聚点。

有一集合E=[a,b]并{c}。c点存在去心邻域（黄色区域），均不属于E，则c是孤立点。

2、开核、边界、导集、闭包。

红色部分和蓝色部分为开核，它不包括边界。

边界，就是圆周，但是圆周可以属于圆（红圆实线黑色边界），也可以不属于圆（蓝圆虚线边界）。

导集=开核+边界。

闭包=集合本身+导集。

3、开集、闭集、完备集。

红色部分（包括实线黑色边界）为闭集，它的每一个聚点都属于集合本身。蓝色部分（不包括虚线黑色边界）为开集，它的每一个内点都属于集合本身。

红色部分（包括实线黑色边界）为自密集，它的每一个聚点都属于集合本身。同时，它也是闭集，自密闭集就是完备集。

4、康托尔三分集P的性质。

P是完备集。

P没有内点。因为P的闭包没有内点，所以P是疏朗集。

P的测度为0，P在区间[0,1]的补集的测度为1。

P的基数为c。

康托尔三分集的Matlab代码如下：

function [] = main()
clear;close all;clc;
cantorSet(0,10,10,10);function f = cantorSet(ax,ay,bx,by) %康托尔三分集
c=0.001; %横线的最小宽度
d=0.005; %上、下两条横线的间距if((bx-ax) > c)x = [ax,bx];y = [ay,by];hold on;plot(x,y,'LineWidth',2); % 画线一条线hold off;cx = ax + (bx-ax)/3; %第一条横线从最左点ax，增加1/3长度cy=ay-d; % 横线向下递减ddx = bx-(bx-ax)/3; % 第二条横线从最右边bx，减少1/3长度dy=by-d; % 横线向下递减day=ay-d; % 横线向下递减dby=by-d; % 横线向下递减dcantorSet(ax,ay,cx,cy); % 递归画左边横线cantorSet(dx,dy,bx,by); % 递归画右边横线
end

结果如下：

四、测度论。

1、内测度和外测度。

内测度，是内填，对应于圆的内接多边形，只要多边形的边数足够多，上确界就能逼近圆的面积。

外测度，是外包，对应于圆的外切多边形，只要多边形的边数足够多，下确界就能逼近圆的面积。

2、外测度的次可数可加性。

因为外测度是外包，要不等于圆的面积，要不大于圆的面积，这就是次可数可加性。而可数可加性就只有等于圆的面积。

3、可测集。

外测度可以从外面包围任意集合，但这不能使得任意集合都可测，于是，外测度需要添加一个条件（卡拉泰奥多里条件）：

这样，计算测度时，不需要同时使用内外两种测度，而是只使用外测度，大大简化计算。

4、可测集类。

可测集有以下几种类型：

a、凡外测度为零之集皆可测，称为零测度集。

b、零测度集之任何子集仍为零测度集。

c、有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集。

d、区间都是可测集合，且mI=I的“长度”。

e、凡开集、闭集皆可测。

f、凡博雷尔集都是L可测集。

五、可测函数。

六、积分论。

七、微分与不定积分。

未完待续。。。

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