广义特征向量计算方法

2024-07-04 06:23:00

代数重数与几何重数（对于单个特征值而言）

代数重数：相同特征值的个数。
几何重数：特征子空间的维数为几何重数，因为空间是几何里的概念，rank(λI−A)=n−αrank(λI-A)=n-αrank(λI−A)=n−α中的ααα值，几何重数 ≤ 代数重数。
在几何重数 = 代数重数时，A可以变换为对角阵，但两者不相同时，A只可以变换为约当阵，这里就需要使用广义特征向量。

广义特征向量计算

rank(λI−A)=n−αrank(λI-A)=n-αrank(λI−A)=n−α，代数重数为kkk，则对于λλλ这个特征值有ααα个线性不相关的向量，就有ααα个约当小块，通过这ααα个向量来构建其余的k−αk-αk−α个向量，设为X1、X2、...、XαX_{1}、X_{2}、...、X_{α}X1、X2、...、Xα。将需要构建的k−αk-αk−α个向量分成ααα组，每组基于一个XiX_{i}Xi构建。
例如rank(λI−A)=10−2rank(λI-A)=10-2rank(λI−A)=10−2，代数重数k=5k=5k=5，则可将5分为2组，可以为S1=3，S2=2S_{1}=3，S_{2}=2S1=3，S2=2。
公式：
VS1−1=−(λI−A)VS1VS1−2=−(λI−A)VS1−1V1=(−1)S1−1(λI−A)S1−1V3=X1.............V_{S_{1}-1}=-(λI-A)V_{S_{1}}\\ V_{S_{1}-2}=-(λI-A)V_{S_{1}-1}\\ V_{1}=(-1)^{S_{1}-1}(λI-A)^{S_{1}-1}V_{3}=X_{1}\\ ............. VS1−1=−(λI−A)VS1VS1−2=−(λI−A)VS1−1V1=(−1)S1−1(λI−A)S1−1V3=X1.............

我们先求出S1S_{1}S1组对应的三个列向量，S1S_{1}S1组以X1X_{1}X1为基向量，构建V3，V2，V1V_{3}，V_{2}，V_{1}V3，V2，V1，根据
(−1)S1−1(λI−A)S1−1V3=X1(-1)^{S_{1}-1}(λI-A)^{S_{1}-1}V_{3}=X_{1}(−1)S1−1(λI−A)S1−1V3=X1得到最大下标的V3V_{3}V3（最高下标的V3V_{3}V3和最低下标的V1V_{1}V1才与X1X_{1}X1有直接关系），然后根据V2=−(λI−A)V3V_{2}=-(λI-A)V_{3}V2=−(λI−A)V3V1=−(λI−A)V2=X1V_{1}=-(λI-A)V_{2}=X_{1}V1=−(λI−A)V2=X1
得到V2V_{2}V2、V1V_{1}V1，同理得到S2S_{2}S2组下的两个列向量W2W_{2}W2、W1W_{1}W1，则Q=[V1V_{1}V1 V2V_{2}V2 V3V_{3}V3 W1W_{1}W1 W2W_{2}W2 ] 。
证明与例题详见广义特征向量的构造

简易方法求广义特征向量

公式：

λ1P1−AP1=0λ1P2−AP2=P1λ1P3−AP3=P2.........λ_{1}P_{1}-AP_{1}=0\\ λ_{1}P_{2}-AP_{2}=P_{1}\\ λ_{1}P_{3}-AP_{3}=P_{2}\\ ......... λ1P1−AP1=0λ1P2−AP2=P1λ1P3−AP3=P2.........
Q=[P1P_{1}P1 P2P_{2}P2 P3P_{3}P3 P4P_{4}P4 P5P_{5}P5 P6P_{6}P6]

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