江苏大学研究生考试试题a卷答案

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江苏大学研究生考试试题江苏大学研究生考试试题答案答案 考试科目 博弈论 年级 2012 日期 20130705 1、用划线法确定下面博弈的纳什均衡： 博弈方 2 博弈方 1 x y z a 9,6 5,7 6,2 b 10,5 6,4 8,6 c 4,8 7,6 2,9 所以，纳什均衡解为(b,z) 2、求解下面博弈的所有纳什均衡解 答： 根据划线法可知，博弈有两个纯策略的纳什均衡： (芭蕾，芭蕾)和(足球， 足球)。另外，还有一个混合策略的纳什均衡。 假设女和男分别用 1 和 2 表示，选择观看芭蕾的概率分别为 x 和 y，则博弈参与 人的期望收益为 E1=1-x-y+3xy， E2=3-3x-3y+4xy， 分别对 x 和 y 求导数并令其等 于 0，可得 x=1/3，y=3/4.所以，混合策略的纳什均衡为((3/4,1/4)，(1/3,2/3)). 3、试计算，这个博弈的对称混合策略纳什均衡和非对称纯策略纳什均衡。 对称混合策略纳什均衡：对称混合策略纳什均衡：假设每个企业进行共性技术创新的概率为 ， ()，当博弈达到均衡时，每个企业进行共性技术创新的期望盈利等于 其不进行共性技术创新的期望盈利。当一个企业进行技术创新时，其期望盈利是 。当给定企业不进行产业共性技术创新时，其期望收益受到两种策略组合 的影响：一是没有任何一个别的企业进行产业共性技术创新；二是其它企业中至 少有一个企业进行产业共性技术创新。将前者出现的概率记为，后者出现的概 率记为，则。对于前者，如果没有别的企业进行产业共性技术创 新，那么它的盈利是 0；对于后者，如果其他企业中至少一个企业进行产业共性 技术创新，那么它不进行技术创新的盈利是 。 因此对称混合策略的纳什均衡满足等式： (1) 由于，则等式(1)变为： (2) 所以， (3) 对于策略组合的来说，没有别的企业进行产业共性技术创新的概率就是其他 个企业中每一个企业都不进行技术创新的概率，所以有 (4) 由等式(3)和(4)可以得到，对策混合策略的纳什均衡条件满足如下等式 (5) 求解上式可以得到 (6) 因此博弈有唯一的对称混合策略均衡， 其中每个企业都以概率进 行共性技术创新。 非对称纯策略纳什均衡非对称纯策略纳什均衡的分析过程如下： (1) 对于群体博弈中的某个企业， 如果其选择的策略是“进行产业共性技术创新” 而其他所有企业都选择“不进行产业共性技术创新”的策略，则该企业的盈利为 。如果这个企业改变策略不进行共性技术研发，则其盈利就从下降为 0(此时没有任何一个企业进行产业共性技术创新)；因此，这个企业就不会改 变策略，而是保持选择“进行产业共性技术创新”的策略； (2)此时，如果任何一个其他企业改变“不进行产业共性技术创新”策略去进行 共性技术查询，那么这个企业的盈利就从 下降为；因此，任何一个其他企 业也不会改变策略，而是保持选择“不进行产业共性技术创新”的策略。 (3)所以，“恰好只有一个企业进行共性技术创新”的策略组合是纳什均衡，它 是纯策略的。这样的策略组合共有 个，而且每个均衡都是非对称的。 4、利用最优反应函数求解博弈的纳什均衡。 ? 博弈模型 o 局中人：两个个体 o 行动：每个局中人的行动集是努力水平(非负数)的集合。 o 偏好：局中人 的偏好是由盈利函数来描述的。 ? 求解过程： o 给定个体，个体的盈利函数是的二次函数，则个体 关于的 最优反应是：。(可以通过二次函数的对称性 或者令局中人 i 的盈利关于的导数等于 0 来求解得出) o 具体是：， o 最优反应函数图示，横轴为局中人 1 的行动，竖轴为局中人 2 的行 动。 o 假设最优反应函数的交点为(即纳什均衡点)，将该交点 代人上述两个方程，则有方程组， 。联立求解得该博弈有唯一的纳什均衡 。 5、答案： 1. 求解最优反应函数：求解最优反应函数： 考虑一般利润函数， 以表示 取 最大值时的价格。(二次函数图像)，对于各种不同的，分析厂商 的 盈利函数： 1. 如果，厂商 的最优反映函数为 2. 如果，厂商 的最优反映函数为 3. 如果， 厂商 的最优反应是一个低于且越接近的价格 越好，对于连续价格来说，不存在最优价格，所以 1. 思考，如果价格作为离散变量的话，其最优反应如何？ 4. 如果，那么厂商 的最优反应函数是 5. 汇总写出厂商 i 的最优反应函数。 6. 这个最优反应函数与古诺模型不同：对于其对手的某些行动，厂商 没有最优反应；而对于另一些行动，厂商有多个最优行动。 2. 纳什均衡：纳什均衡：从两个厂商的最优反应函数出发，寻找它们相交的部分，即同 时满足两个最优反应函数，也即是纳什均衡点 离散价格时的最优反应函数图象为 6、答案： 1. 长度为 1 的子博弈：局中人 1 选择 G； 2. 长度为 2 的子博弈：局中人 2 选择 E； 3. 长度为 3 的子博弈：局中人 1 选择 D； 4. 结论：(DG，E)为子博弈完美均衡策略对。 7、答案： 1. 成本函数为 2. 线性逆需求函数：； 3. 对于厂商 1 的每一个产量，厂商 2 的利润为 。 令得到厂商 2 的 唯一最优反应，为： 4. 假设厂商 2 的策略(产量)是 ，厂商 1 的利润是： ，厂商 1 的最优产量为使上式 达到最大化时的产量，求导数得 5. 代入得厂商 2 的最优产量为 6. 厂商 1 的利润为，厂商 2 的利润为 8、答案“ 1. 局中人 的平均支付(Payoff)分别是：， ， ； 2. 局中人的平均支付(Payoff)分别是：， ， 。 3. 假设其策略使用频率的相对调整速度与其支付超过平均支付的幅度成正 比, 则 、 对 和 的调整方程为: 即， 1. 时， 、、、为鞍点；为中心。 关 键 词： 江苏 大学研究生 考试 试题 答案

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