一、归并排序介绍

将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。

归并排序（ Merge Sort ）就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。

1．从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。（参考下面的图2．从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：

①分解﹣将当前区间一分为二，即求分裂点 mid =( low + high )/2;

②求解﹣递归地对两个子区间 a [ low ... mid ] 和 a [ mid +1.. high ］进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。

③合并﹣将已排序的两个子区间 a [ low .. mid] 和 a [ mid +1.. high ］归并为一个有序的区间 a [ low .. high ]。

下面的图片很清晰的反映了“从下往上”和“从上往下”的归并排序的区别。

二、归并排序图文说明

1. 归并排序(从上往下)代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 归并排序：将一个数组中两个相邻有序空间合并成一个// 参数说明
// a -- 包含两个有序区间的数组
// start -- 第一个有序区间的起始地址
// mid -- 第一个有序区间的结束地址。也是第二个有序区间的起始地址
// end -- 第二个有序区间的结束地址void merge(int a[], int start, int mid, int end) {int* tmp = (int*)malloc((end - start + 1) * sizeof(int));// tmp是汇总2个有序区间的临时区域。int i = start; // 第一个有序区的索引int j = mid + 1; // 第二个有序区的索引int k = 0; // 临时区域的索引while (i <= mid && j <= end) {if (a[i] <= a[j]) {tmp[k++] = a[i++];}else {tmp[k++] = a[j++];}}while (i <= mid) {tmp[k++] = a[i++];}while (j <= end) {tmp[k++] = a[j++]; // 将两个有序区间合并}// 排序后的元素，全部都整合到数组a中for (i = 0; i < k; i++) {a[start + i] = tmp[i];}free(tmp);tmp = NULL;
}// 归并排序--从上往下
// 参数说明：
// a -- 待排序数组
// start -- 数组的起始地址
// end -- 数组的结束地址
//
void merge_sort_up_to_down(int a[], int start, int end) {if (a == NULL || start >= end) {return;}int mid = (end + start) / 2;merge_sort_up_to_down(a, start, mid); // 递归排序a[start..mid]merge_sort_up_to_down(a, mid + 1, end); // 递归排序a[mid..end]// a[start..mid]和a[mid..end]是两个有序空间// 将它们排序成一个有序空间a[start..end]merge(a, start, mid, end);
}int main() {int arr[] = { 9,5,1,6,2,3,0,4,8,7 };merge_sort_up_to_down(arr, 0, 9);for (int i = 0; i < 10; i++) {printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");return 0;
}

从上往下的归并排序采用了递归地方式实现。它的原理非常简单，如下图：

通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70｝进行排序时：

1．将数组｛80,30,60,40,20,10,50,70｝看作由两个有序的子数组｛80,30,60,40｝和｛20,10,50,70｝组成。对两个有序子树组进行排序即可。

2．将子数组｛80,30,60,40｝看作由两个有序的子数组｛80,30｝和{60,40｝组成。

将子数组｛20,10,50,70｝看作由两个有序的子数组｛20,10｝和50,70｝组成。

3．将子数组｛80,30｝看作由两个有序的子数组｛80｝和｛30｝组成。

将子数组｛60,40｝看作由两个有序的子数织（60｝和｛40｝组成。

将子数组｛20,10｝看作由两个有序的子1(20｝和｛10｝组成。

将子数组｛50,70｝看作由两个有序的子数组50｝和｛70｝组成。

2. 归并排序(从下往上)代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 归并排序：将一个数组中两个相邻有序空间合并成一个// 参数说明
// a -- 包含两个有序区间的数组
// start -- 第一个有序区间的起始地址
// mid -- 第一个有序区间的结束地址。也是第二个有序区间的起始地址
// end -- 第二个有序区间的结束地址void merge(int a[], int start, int mid, int end) {int* tmp = (int*)malloc((end - start + 1) * sizeof(int));// tmp是汇总2个有序区间的临时区域。int i = start; // 第一个有序区的索引int j = mid + 1; // 第二个有序区的索引int k = 0; // 临时区域的索引while (i <= mid && j <= end) {if (a[i] <= a[j]) {tmp[k++] = a[i++];}else {tmp[k++] = a[j++];}}while (i <= mid) {tmp[k++] = a[i++];}while (j <= end) {tmp[k++] = a[j++]; // 将两个有序区间合并}// 排序后的元素，全部都整合到数组a中for (i = 0; i < k; i++) {a[start + i] = tmp[i];}free(tmp);tmp = NULL;
}// 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的数组；
// 将“没两个相邻的子数组”进项归并排序
//
// 参数说明
// a -- 待排序的数组
// len -- 数组的长度
// gap -- 子数组的长度void merge_groups(int a[], int len, int gap) {int i;int len_2 = 2 * gap; // 两个相邻子数组的长度// 将“每两个相邻的子数组”进行合并排序for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < len; i += (2 * gap)) {merge(a, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);}// 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个组数组没有配对// 将该自数字合并到已排序的数组中if (i + gap - 1 < len - 1) {merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);}
}// 归并排序 从下往上
// 参数说明
// a -- 待排序的数组
// b -- 数组长度void merge_sort_down_to_up(int a[], int len) {int n;if (a == NULL || a <= 0) {return;}for (n = 1; n < len; n *= 2) {merge_groups(a, len, n);}
}int main() {int arr[] = { 9,5,1,6,2,3,0,4,8,7 };merge_sort_down_to_up(arr, 10);for (int i = 0; i < 10; i++) {printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");return 0;
}

从下往上的归并排序的思想正好与从上往下的归并排序相反。如下图：

通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70｝进行排序时：

1．将数组｛80,30,60,40,20,10,50,70｝看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50｝和｛70｝组成。

2．将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20｝和｛50,70}。

3．将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80｝和｛10,20,50,70}。

4．将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。

三、归并排序的时间复杂度和稳定性

1. 归并排序的时间复杂度

归并排序的时间复杂度是 O ( N * IgN )。

假设被排序的数列中有 N 个数。遍历一趟的时间复杂度是 O ( N )，需要遍历多少次呢？

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是 O ( N * lgN )。

2. 归并排序稳定性

归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。

算法稳定性：假设在数列中存在 a[i]= a[j] ，若在排序之前， a [i]在 a[j] 前面并且排序之后， a [i］仍然在 a [ j ］前面。则这个排序算法是稳定的！

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