斜率优化 Snowdrop修长廊 scu dp练习B题

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题意：要覆盖完n个点，要覆盖掉[i,j]的代价是(X[i]-X[j])*(X[i]-X[j])+W，求覆盖完所有点的最小代价

思路：这是一道非常裸的斜率优化。

网上讲解斜率优化的博客还是比较多的，斜率优化通常就是化简后，最后得到了一个斜率的式子

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我稍微讲下对于单调队列，我一开始看着比较费劲的地方。。

（下面内容均建立在已经读完上面那个链接的基础之上。。

用g[i,j]表示点i,j的斜率。假如之前已经有点k，j。现在考虑把i点放进去

如果有g[j,i]<g[k,j]，那么j一定不是最优的，现在我们来证明：

下面这张图是j需要被删除的情况。

如果g[j,i]<sum[i]，那么根据之前我们列出的不等式的含义，可以知道i比j更优。

如果g[j,i]>=sum[i]，那么就有g[k,j]>g[j,i]>=sum[i]，根据定义，如果g[k,j]<sum[i]，则j最优，反之，现在是>=sum[i]，所以k点最优

所以我们能够发现，无论怎样，这种情况下的J都需要删掉。

综上所述，我们就知道，我们需要维护一个斜率越来越大的点的集合，如下图

我们接下来说一下，队列需要如何来维护。

下面的sum是针对上面那个地址来的，其实对应了本道题目的第i个位置

我们用单调队列来维护上面这个图。

删除队首没用的点：

取队首第一个点和第二个点，计算斜率，记为k

如果k<=sum，说明第二个点更优。所以我们就把队首那个点删掉，直到k>sum或者队列为空

由于随着i往后，sum会越来越大。我们可以发现，sum增大以后，我们刚刚删掉的点也不可能是最优的

所以就证明了我们删除队首的一些点的正确性。

新添加点：从队尾加入点，先看i与队列最后一个点的斜率记为a，队列最后一个点和最后第二个点的斜率记为b。

如果a<=b，那么就把最后一个点删掉，直到a>b或者队列中没有点。

为了减少我们思考复杂度，我们可以写好3个函数，geup(),getdown(),getdp()，之后的程序就很容易写了

PS：我们仔细再看下上面这道题为什么能用单调队列。

因为sum会越来越大，说白了就是你把斜率不等式写出来，当符号是<时候，右边是单调递增。当符号是>时候，右边是单调递减

只有这种情况，才可以使用单调队列来斜率优化。

如果sum不是单调的，那么就必须写凸包，然后再在凸包上三分答案。

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define fuck(x) cout<<"["<<x<<"]";
#define FIN freopen("input.txt","r",stdin);
#define FOUT freopen("output.txt","w+",stdout);
//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int MX = 2e5 + 5;LL A[MX], dp[MX], w;
int Q[MX], c, r;
LL getup(int i, int j) {return dp[j - 1] + A[j] * A[j] - (dp[i - 1] + A[i] * A[i]);
}
LL getdown(int i, int j) {return A[j] - A[i];
}
LL getdp(int i, int j) {return dp[j - 1] + (A[i] - A[j]) * (A[i] - A[j]) + w;
}
int main() {int T; //FIN;scanf("%d", &T);while(T--) {int n;c = 1; r = 0;scanf("%d%lld", &n, &w);for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%lld", &A[i]);}sort(A + 1, A + 1 + n);for(int i = 1; i <= n; i++) {while(r - c + 1 >= 2 && getup(Q[c], Q[c + 1]) <= 2 * A[i]*getdown(Q[c], Q[c + 1])) c++;dp[i] = min(getdp(i, Q[c]), dp[i - 1] + w);while(r - c + 1 >= 2 && getup(Q[r], i)*getdown(Q[r - 1], Q[r]) <= getdown(Q[r], i)*getup(Q[r - 1], Q[r])) r--;Q[++r] = i;}printf("%lld\n", dp[n]);}return 0;
}

这里还介绍一种类似整体二分的思想的分治的方法，可以用来替代单调队列

不过单调队列总的复杂度是O(n)，分治的方法总的复杂度是O(nlogn)

虽然变慢了一个log，但是代码编写上简单非常多。

void dfs(int l, int r, int dl, int dr) {//[l,r]表示现在更新[l,r]区间dp[i]的最优值//用j -> f(i),表示j是更新f(i)最优值的最优点//那么[dl,dr]表示更新dp([l,r])的点，一定在[dl,dr]范围内int mid = (l + r) >> 1; int dm = dl;int g = inf;for (int i = dl; i <= dr; i++) {if(g < dp[i] + f(i, mid)) {g = dp[i] + f(i, mid);//记录更新dp[mid]的最优dm = i;//记录更新dp[mid]的最优点}}dp[mid] = g; //更新dp[mid]的值//因为上文叙述的单调性，//更新[l,mid-1]的最优点，一定在[dl,dm]范围内if(l < mid) dfs(l, mid - 1, dl, dm);//更新[mid+1,r]的最优点，一定在[dm,dr]范围内if(mid < r) dfs(mid + 1, r, dm, dr);//此份代码dfs顺序有点问题，并不正确，但是并不影响理解
}

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