7.6 由伯德图判断系统的稳定性;幅相曲线(-1，j0)点左侧的负实轴

对数幅频特性L(ω)>0(即零分贝线以上的区域)对数相频特性-180°线 ;可见，同样可以利用伯德图来判别系统的稳定性。这种方法称为对数频率稳定性判据，简称为对数判据或伯德判据，它实质上与乃奎斯特判据有密切联系。;Bode图相频曲线图上， ?(ω)从 －180°线以下增加到－180°线以上，称为?(ω) 对-180°线的正穿越(相角增加)；反之，称为负穿越(相角减少)。Bode图相频曲线图上， ?(ω)从－180°线开始往上称为半个正穿越， ?(ω)从－180°线开始往下称为半个负穿越。 ;表述为：;此时需对对数频率特性曲线作修正： 在对数相频特性曲线ω=0+处，由下向上补画一条虚线，该虚线通过的相位为ν·90°，计算正负穿越时，应将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分。;例5-11的伯德图;解：系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点，即P=0，而在L(ω)≥0的频段内，相频特性?(ω)不穿越－180°线，故闭环系统必然稳定。 ;例2. 判定下列图的稳定性;根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。;相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高；反之，G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越近，则闭环系统的稳定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿过(－1, j0)点，则闭环系统处于临界稳定状态。稳定裕度：衡量闭环稳定系统稳定程度的指标，常用的有相角裕度γ和幅值裕度 Kg。;1. 相角裕度γ在频率特性上对应于幅值A(ω)＝1(即L(ω)=0)的角频率称为剪切频率(截止频率)，以ωc表示，在剪切频率处，相频特性距－180°线的相位差γ叫做相角裕度。即

下图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在ωc的频率下，允许相角再增加(迟后)γ度才达到临界稳定状态。相角裕度也叫相位稳定性储备。;相角裕度和增益裕度;对于稳定的系统， ?(ωc)必在伯德图－180°线以上，这时称为正相角裕度，或者有正相角裕度，如图(c) 所示。对于不稳定系统， ?(ωc)必在－180°线以下，这时称为负相角裕度，如图(d) 所示;相应地，在乃氏图中，γ即为乃氏曲线与单位圆的交点A 对负实轴的相位差值。对于稳定系统， A点必在负实轴以下。如图(a) 所示。反之，对于不稳定系统，A点必在负实轴以上，如图 (b) 所示。 ;2. 增益裕度Kg 在相频特性等于－180°的频率ωg (穿越频率)处，开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕度，记做Kg 。即

在Bode图上，增益裕度改以分贝(dB)表示 ;相角裕度和增益裕度;对于稳定的系统，L(ωg )必在Bode图0 dB线以下，这时称为正增益裕度，如图 (c) 所示。对于不稳定系统， L(ωg )必在0dB线以上，这时称为负增益裕度，如图 (d) 所示。以上表明，在图 (c)中，对数幅频特性还可上移Kg，即开环系统的增益增加Kg倍，则闭环系统达到稳定的临界状态。在乃氏图中，乃氏曲线与负实轴的交点到原点的距离即为1/Kg ，它代表在频率ωg处开环频率特性的模。显然，对于稳定系统，1/Kg＜1，如图(a) 所示；对于不稳定系统有1/Kg＞1，如图 (b) 所示。 ;几点说明：对于一个稳定的最小相位系统，其相角裕度应为正值，增益裕度应大于1 ；严格地讲，应当同时给出相角裕度和增益裕度，才能确定系统的相对稳定性。但在粗略估计系统的暂态响应指标时，主要对相角裕度??出要求。为使系统有满意的稳定储备，以及得到较满意的暂态响应，在工程实践中，一般希望 ;对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间存在唯一的对应关系。上述相角裕度意味着，系统开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率应大于－40dB/dec，且有一定宽度。在实际中常取－20dB/dec。在闭环稳定条件下，稳定裕度越大，反映系统稳定程度越高。稳定裕度也间接反映了系统动态过程的平稳性，裕度大意味着超调小、振荡弱，阻尼大。 ;例 单位反馈系统开环传递函数为

分别求取K1= 10及K1= 100时的相角裕度和增益裕度 。 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K1= 10时

ω1=1， ω2=5。20lgK = 20lg2 = 6dB。画出对数幅频特性曲线;由图可知 ;所以K1＝10时，剪切频率和相角裕度为

当K1从10变到100时，幅频特性上移20dB，如上图中虚线所示，此时 ;欲求增益裕度，则须先求出ωg;可用MA