【集合论】关系性质 ( 对称性 | 对称性示例 | 对称性相关定理 | 反对称性 | 反对称性示例 | 反对称性定理 )
文章目录
- 一、对称性
- 二、对称性示例
- 三、对称性定理
- 四、反对称性
- 五、反对称性示例
- 六、反对称性定理
- 七、对称性与反对称性示例
一、对称性
对称性 描述 :
R⊆A×AR \subseteq A \times AR⊆A×A
RRR 是对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
∀x∀y(x∈A∧y∈A∧xRy→yRx)\forall x \forall y ( x \in A \land y \in A \land xRy \to yRx )∀x∀y(x∈A∧y∈A∧xRy→yRx)
⇔\Leftrightarrow⇔
(∀x∈A)(∀y∈A)[xRy→yRx]( \forall x \in A ) (\forall y \in A)[xRy \to yRx](∀x∈A)(∀y∈A)[xRy→yRx]
RRR 是非对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
∃x∃y(x∈A∧y∈A∧xRy∧¬yRx)\exist x \exist y ( x \in A \land y \in A \land xRy \land \lnot yRx )∃x∃y(x∈A∧y∈A∧xRy∧¬yRx)
对称性描述 : 任选两个元素 x,yx, yx,y , 如果 xxx 与 yyy 有关系 RRR 即 xRyxRyxRy , 那么 yyy 与 xxx 也有关系 RRR 即 yRxyRxyRx ;
非对称性描述 : 只要存在一个 x,yx , yx,y 组合 , xxx 与 yyy 有关系 RRR , 但是 yyy 与 xxx 没有关系 RRR , 那么该关系 RRR 就是非对称的 ;
二、对称性示例
对称性示例 :
关系图中 , 不考虑环 , 只看两点之间的关系 , 两个顶点之间的关系都是往返箭头 , 那么就是对称的 , 有一个单向箭头 , 就不是对称的 ;
上述关系图中 , 顶点之间的箭头都是双向的 , 该关系是对称的 ;
上述关系图中 , 都是单向箭头 , 有一个箭头是单向的 , 就不是对称的 ;
三、对称性定理
对称性定理 :
RRR 是对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
R−1=RR^{-1} = RR−1=R
⇔\Leftrightarrow⇔
R−1R^{-1}R−1 是对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
M(R)M(R)M(R) 关系矩阵是对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
G(R)G(R)G(R) 的任意两个顶点之间如果有边 , 必定是两条边 ( 正向反向各一条 )
对称性 两个顶点之间 有 000 条或 222 条边 ;
四、反对称性
反对称性 :
R⊆A×AR \subseteq A \times AR⊆A×A
RRR 是反对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
∀x∀y(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)\forall x \forall y ( x \in A \land y \in A \land xRy \land yRx \to x=y )∀x∀y(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)
⇔\Leftrightarrow⇔
(∀x∈A)(∀y∈A)[xRy∧yRx→x=y](\forall x \in A)(\forall y \in A)[ xRy \land yRx \to x = y ](∀x∈A)(∀y∈A)[xRy∧yRx→x=y]
非反对称性 :
RRR 是非反对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
∃x∃y(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx∧x≠y)\exist x \exist y ( x \in A \land y \in A \land xRy \land yRx \land x \not=y )∃x∃y(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx∧x=y)
反对称就是 防止两个顶点之间有两条边 , 两个顶点之间要么有 000 条边 , 要么有 111 条边 ;
对称是 任何两个顶点之间 , 要么有 000 条边 , 要么有 222 条边 ;
如果关系图中 , 两个顶点之间没有边 , 那么该关系 既是对称的 , 又是反对称的 ; ( 环不影响对称与反对称定义 )
五、反对称性示例
反对称性 : 顶点之间没有两条边的 , 只有 000 条边 或 111 条边
对称性 : 顶点之间只有 000 条边 , 或 111 条边
上图是反对称的 , 有两个 111 条边 , 一个 000 条边 ;
上图是非反对称的 , 有 000 条边 , 111 条边 , 222 条边的情况 , 是非反对称的 ;
六、反对称性定理
反对称性定理 :
RRR 是反对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
R−1∩R⊆IAR^{-1} \cap R \subseteq I_AR−1∩R⊆IA
⇔\Leftrightarrow⇔
R−1R^{-1}R−1 是反对称的
⇔\Leftrightarrow⇔
M(R)M(R)M(R) 关系矩阵中 , ∀i∀j(i≠j∧rij=1→rji=0)\forall i \forall j (i \not= j \land r_{ij} = 1 \to r_{ji} = 0)∀i∀j(i=j∧rij=1→rji=0)
⇔\Leftrightarrow⇔
G(R)G(R)G(R) 关系图中 , ∀ai∀aj(i≠j)\forall a_i \forall a_j (i \not= j)∀ai∀aj(i=j) , 如果存在有向边 <ai,aj><a_i, a_j><ai,aj> , 则一定不存在 <aj,ai><a_j, a_i><aj,ai>
R−1∩R⊆IAR^{-1} \cap R \subseteq I_AR−1∩R⊆IA 说明 :
RRR 关系 与 R−1R^{-1}R−1 关系 ( RRR 的逆关系 ) 的交集 , 包含在 恒等关系中 ;
如果两个顶点之间有两条边 , 求逆之后 , 两个顶点的两个的两条边分别反向 , 还是相同的两条边 , 如果二者求交集 , 还是存在两条边 , 肯定不是恒等关系 , 恒等关系都是环 ; ( 不符合反对称 )
如果两个顶点之间有 111 条边 , 求逆之后 , 两个顶点之间是反向的一条边 , 两个关系的交集肯定为空 , 剩下的只有环 ; ( 反对称 )
如果两个顶点之间有 000 条边 , 求逆之后 , 两个顶点之间是 000 条边 , 两个关系的交集肯定为空 , 剩下的只有环 ; (反对称)
关系矩阵 : M(R)M(R)M(R) 中 , ∀i∀j(i≠j∧rij=1→rji=0)\forall i \forall j ( i \not= j \land r_{ij} = 1 \to r_{ji} = 0 )∀i∀j(i=j∧rij=1→rji=0)
对角线以外的不能有对称的位置都是 111 的情况 , 如 rij=1r_{ij} = 1rij=1 , 其对称的元素 rjir_{ji}rji 一定不能是 111 , 必须是 000 ;
关系图 : G(R)G(R)G(R) 中 , 如果 ∀ai∀aj(i≠j)\forall a_i \forall a_j ( i \not= j )∀ai∀aj(i=j) , 如果有有向边 <ai,aj><a_i, a_j><ai,aj> , 则必须没有 <aj,ai><a_j , a_i><aj,ai> ;
关系图中 两个顶点 只存在单向边 , 或没有边 , 不存在两个方向的边 ;
七、对称性与反对称性示例
上述关系图中 , 两个顶点之间存在 000 条边 , 222 条边 , 是对称的 ;
自反的 , 所有的顶点都有环 , 是自反的 ;
上述关系图是反对称的 , 都有 一条有向边 ;
所有的顶点 都没有环 是 反自反的 ;
上述图中 , 有的顶点之间有 111 条边 , 有的顶点之间有 222 条边 , 既不是对称的 , 又不是反对称的 ;
有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 既不是 自反的 , 又不是反自反的 ;
上述关系图中 , 顶点之间都是 000 条边 ;
顶点之间是 000 条边 / 222 条边 是对称的 ;
顶点之间是 000 条边 / 111 条边 是反对称的 ;
上述关系图 既是 对称的 , 又是反对称的 ;
有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 既不是 自反的 , 又不是反自反的 ;
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