幸运数47：给定正整数n，求不大于n的仅由4和7组成的数字的个数

题目描述：我们称一个十进制正整数是幸运数当且仅当它只由数字4和7构成。现在给出一个正整数n，你需要计算由多少个不大于n的幸运数，由于答案可能非常大，你只需要输出答案除以1000000007后的余数。

输入：第一行包含一个整数n，1<=n<=10^100000

输出：输出对应的答案

测试样例：

125

21857711

254

朴素思路：逐个穷举

结果：超时，因为数目过大

思路受某位不知道姓名的大神指点，在此表示十分感谢O(∩_∩)O谢谢，思路说明：

符号说明：下面符号中，7xx表示x为4、或7，即744,777,747，774，共有2^2中可能性满足题意。

思路：由于数字仅由7、4组成，所以把满足要求的数字看做由7、4组成的“二进制”数字（7->1,4->0），这样当输入数字长度为n时，最少有种情况。

例如：441,,444,777,123,731,491,594，982，长度均为3，则最少的数目为6，分别是4,7,44，47,74,77。所以，需从最高位开始向右扫描，诸位判断情况：

case1：当前位置>7,说明此位置为7或4均可满足题意(例如982，那么7xx，4xx型均满足答案;），所以答案增加2^(n-i),i为当前位置下标(例如491，i=1时，9>7,那么47x，44x均满足要求，所以答案增加2^(3-1)=4种)，并且不用再向后判断。（因为从上例子可知后续结果已被包括，因为491>4xx）

case2: 当前位置==7，说明此位置为4可满足题意(例如777，那么4xx一定满足答案;731，那么4xx一定满足答案）但对于7xx是否满足，仍需继续扫描下一位判断；如果是最后一位为7，则最后一位7或4均满足答案，答案+2（如777，i=0,4xx满足；i=1，*4x满足；i=3，因为是最后一位，所以可以判断777,774满足条件，答案+2）

case3: 7>当前位置>4,说明此位置为4可满足题意（例如594，那么4xx一定满足，且594>4xx所以后续不用在判断，已经包含）.

case4: 当前位置==4,类似于==7的情况，只不过不继续向后扫描，无法准确判断（由于441等情况的存在），但是当可以扫描至最后一位且最后一位为4时(例如444)，则证明44...4情况可以存在，答案+1（例如444，在xx的情况下答案再加上444这一种情况）

case5：非4非7，不满足要求，停止扫描，把之前最扫描结果返回即可（如441，只有xx满足；123，只有xx满足；）

程序说明：因为10^100000 大概等于 4^160000（可取对数大概估算一下），所以预分配160000内存

import java.util.Scanner;public class LuckNum_4And7 {public static void main(String[] args){//输入n<=10^100000 约等于 4^160000 ,可以取对数算一下int[] Bit = new int[160000];int[] Sum = new int[160000];Bit[0] = 1 ;//2^0 = 1Sum[0] = 0 ;//Sum[0] = Bit[0]for(int i = 1;i<100010;i++){//初始化，把2的幂以及求和预先算一下，方便使用Bit[i] = Bit[i-1]*2%(1000000007);Sum[i] =( Sum[i-1] +Bit[i])%(1000000007);}Scanner sc = new Scanner(System.in);while(sc.hasNext()){String N = sc.nextLine();int lenth = N.length();int ans = Sum[lenth-1];//最短长度，例如：143，长度为三位，所以两位的长度一定满足for(int i=0;i<lenth;i++){//从最高位开始判断，判断712,741,474,444,447,132等几种情况if(N.charAt(i)>'7'){//当前位置大于头，以三位为例，如712，那么4xx的情况（x=4、7）均满足，那么两位xx的情况ans已求得，第三位又添加7、4两种情况ans += Sum[lenth-i];break;//之后全部满足，所以不用再往后按位检查}else if(N.charAt(i)<'7'&&N.charAt(i)>'4'){//当前位==7，那么当前位为4的情况一定可以通过，当前为7的可能性还须继续向下判断，所以结果累加上4xx的情况ans =(ans+Bit[lenth-i-1])%(1000000007);;break;//因为是4xx，之后全部满足，所以不用再往后按位检查}else if(N.charAt(i)=='7'){ans =(ans+ Bit[lenth-i-1])%(1000000007);;//因为为最后一位时，加的是bit[0]=1,但最后一位为7时 应包含两种情况xx7和xx4，所以再加1//if(i==lenth-1) ans++;}else if(N.charAt(i)=='4'){if(i==lenth-1) ans=(ans+1)%(1000000007);;}else{break;//此路不通}}System.out.println(ans);}}
}

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