【知识点】（三）连续与导数

连续与间断

1. 间断点

间断点：函数的未定义点，以左右极限是否存在可分为第一类和第二类间断点。

第一类间断点：可去间断点( lim⁡−=lim⁡+\lim-=\lim+lim−=lim+)、跳跃间断点(lim⁡−≠lim⁡+\lim-≠\lim+lim−=lim+)
第二类间断点：无穷间断点( lim⁡=∞\lim = ∞lim=∞)、震荡间断点( lim⁡DNE\lim DNElimDNE）

2. 连续

点 x0x_0x0 连续：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)
区间 (a,b)(a,b)(a,b) 连续：f(x)f(x)f(x) 在区间(a,b)(a,b)(a,b) 每一处都点连续，lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)limx→a+f(x)=f(a) 且 lim⁡x→b−f(x)=f(b)\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)limx→b−f(x)=f(b) 保证端点连续
连续函数的四则运算：f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 在点 x0x_0x0 连续，则 f(x)⊙g(x)f(x)⊙g(x)f(x)⊙g(x) 在点 x0x_0x0 连续，其中 ⊙⊙⊙ 代表加减乘除符号，所以基本初等函数运算产生的初等函数连续
复合函数连续：y=f(u)y=f(u)y=f(u) 在点 u0u_0u0 处连续， u=g(x)u=g(x)u=g(x) 在 x0x_0x0 处连续且 u0=g(x0)u_0 = g(x_0)u0=g(x0)，则 y=f[g(x)]y= f[g(x)]y=f[g(x)] 在点 x0x_0x0 处连续
反函数连续： y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在区间 [a，b][a，b][a，b] 上单调、连续，则其反函数在相应的定义区间上单调、连续

函数导数

1. 导数定义

导数：函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0 的某个邻域有定义，自变量 xxx 在 x0x_0x0 的增量为 Δx\Delta xΔx，函数 yyy 相应的增量为 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0) dydx=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x_0+\Delta x)-f(x_0) }{ \Delta x}dxdy=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
函数可导：f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0<=>lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0f ^{'} (x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} <=> \lim_{x \to x_{0}^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_{0}^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)<=>x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)

2. 导数公式

基本公式：
(ln⁡x)′=1x(log⁡ax)′=1xln⁡a(ax)′=axln⁡a(\ln x)^{'} = \frac{1}{x} \qquad (\log_ax)^{'}= \frac{1}{x \ln a} \qquad (a^x)^{'}=a^x \ln a(lnx)′=x1(logax)′=xlna1(ax)′=axlna

(tanx)′=sec⁡2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(arcsin⁡x)′=11−x2(arctan⁡x)′=11+x2(tanx)^{'} = \sec ^{2}x \qquad (\sec x)^{'} = \sec x \tan x \qquad (\arcsin x)^{'} = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \qquad (\arctan x)^{'} = \frac{1}{ 1+x^2 } (tanx)′=sec2x(secx)′=secxtanx(arcsinx)′=1−x21(arctanx)′=1+x21

运算法则：
(u+v)′=u′+v′(uv)′=u′v+v′u(uv)′=u′v−v′uv2(u+v)^{'}=u^{'}+v^{'} \qquad (uv)^{'} = u^{'}v+v^{'}u \qquad ( \frac{u}{v} )^{'} = \frac{ u^{'}v-v^{'}u }{v^2} (u+v)′=u′+v′(uv)′=u′v+v′u(vu)′=v2u′v−v′u

(u1u2...uk)′=u1′u2..uk+u1u2′..uk+...+u1u2..uk′(u_1u_2...u_k)^{'} = u_1^{'} u_2..u_k + u_1u_2^{'}..u_k +...+ u_1u_2..u_k^{'}(u1u2...uk)′=u1′u2..uk+u1u2′..uk+...+u1u2..uk′

3. 函数求导

反函数：.单调连续函数 x=ϕ(y)x=\phi(y)x=ϕ(y) 在 yyy 处可导，且 ϕ′(y)≠0\phi^{'}(y) ≠ 0ϕ′(y)=0，则反函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在对应点 xxx 可导 f′(x)=1ϕ′(y)，f′′(x)=ϕ′′(y)[ϕ′(y)]3f^{'}(x)=\frac{1}{\phi^{'}(y)}， f^{''}(x)=\frac{\phi^{''}(y)}{ [\phi^{'}(y)]^{3} }f′(x)=ϕ′(y)1，f′′(x)=[ϕ′(y)]3ϕ′′(y)
复合函数：.函数 y=ϕ(x)y=\phi(x)y=ϕ(x) 在点 xxx 处有导数 ϕ′(x)\phi^{'}(x)ϕ′(x)，函数 y=f(u)y=f(u)y=f(u) 在对应点 u=ϕ(x)u=\phi(x)u=ϕ(x) 有导数 f′(u)f^{'}(u)f′(u)，则复合函数 y=f[ϕ(x)]y=f[\phi(x)]y=f[ϕ(x)] 在点 xxx 处可导 {f[ϕ(x)]}′=f′(u)ϕ′(x)\{f[\phi(x)]\}^{'}=f^{'}(u) \phi^{'}(x){f[ϕ(x)]}′=f′(u)ϕ′(x)
隐函数：设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 由方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 确定的隐函数，则方程两边同时对 xxx 求导，方程中的 yyy 作为 xxx 的函数，使用复合函数求导法，解出 y′y^{'}y′
分段函数：区间使用基本公式、运算法则等求导，端点处使用左右导数解出。
参数方程：设 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 由参数方程 {x=ϕ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}{x=ϕ(t)y=ψ(t) 确定，则 dydx=dy/dtdx/dt=ψ′(t)ϕ′(t)，d2ydx2=ddt(dydx)⋅dtdx=ψ′′(t)ϕ′(t)−ψ′(t)ϕ′′(t)[ϕ′(t)]3\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\psi^{'}(t) }{\phi^{'}(t) }， \frac{d^{2}y}{dx^{2} }=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})·\frac{dt}{dx} =\frac{ \psi{''}(t)\phi{'}(t) - \psi^{'}(t)\phi^{''}(t) }{ [\phi^{'}(t)]^{3} }dxdy=dx/dtdy/dt=ϕ′(t)ψ′(t)，dx2d2y=dtd(dxdy)⋅dxdt=[ϕ′(t)]3ψ′′(t)ϕ′(t)−ψ′(t)ϕ′′(t)

5. 高阶导数

归纳法：求前几项导归纳 nnn 阶导形式，归纳的常用高阶导数：(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n2π)，(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+n2π)，(ax)(n)=axln⁡na(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n}{2} \pi)， (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{n}{2} \pi)， (a^x)^{ (n) } = a^x \ln^{n} a(sinx)(n)=sin(x+2nπ)，(cosx)(n)=cos(x+2nπ)，(ax)(n)=axlnna(ax+b)(n)=anβ(β−1)...(β−n+1)(ax+b)β−n，ln⁡(ax+b)(n)=(−1)n−1(n−1)!an(ax+b)n(ax+b)^{(n)} = a^n\beta(\beta-1)...(\beta-n+1)(ax+b)^{\beta-n}，\ln (ax+b)^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)! \frac{a^n}{(ax+b)^{n}}(ax+b)(n)=anβ(β−1)...(β−n+1)(ax+b)β−n，ln(ax+b)(n)=(−1)n−1(n−1)!(ax+b)nan
分解法：
xn1+x=xn+1−11+x=(xn−1−xn−2−...−x+1)−(1+x)−1\frac{x^n}{1+x} = \frac{x^n+1-1}{1+x} =(x^{n-1}-x^{n-2}-...-x+1)-(1+x)^{-1}1+xxn=1+xxn+1−1=(xn−1−xn−2−...−x+1)−(1+x)−1 xn1−x=xn−1+11−x=−(xn−1+xn−2+...+x+1)+(1−x)−1\frac{x^n}{1-x} = \frac{x^n-1+1}{1-x} =-(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)+(1-x)^{-1}1−xxn=1−xxn−1+1=−(xn−1+xn−2+...+x+1)+(1−x)−1 sin⁡2x=1−cos⁡2x2，cos⁡2x=1+cos⁡2x2，\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}， \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}，sin2x=21−cos2x，cos2x=21+cos2x，
莱布尼茨公式：适用于函数相乘的情况 (uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)，其中u(0)=u，v(0)=v(uv)^{(n)}=\sum_{ k=0 }^{ n } C_n^ku^{ (n-k) } v^{ (k) }，其中 u^{ (0) } = u， v^{ (0) } = v(uv)(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)，其中u(0)=u，v(0)=v
泰勒展开式：适用于某点 x0x_0x0 高阶导数 f(n)(x0)=an⋅n!f^{ (n) }(x_0)=a_{n}·n!f(n)(x0)=an⋅n!，其中 ana_nan 是泰勒展开式 xnx^nxn 的系数

函数图像

1. 渐近线

垂直渐近线 x=x0x=x_0x=x0：lim⁡x→x0+f(x)=∞或lim⁡x→x0−f(x)=∞\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infin 或 \lim_{x \to x_0^-} f(x)= \infinx→x0+limf(x)=∞或x→x0−limf(x)=∞
水平渐近线 y=ay = ay=a：lim⁡x→∞f(x)=a或lim⁡x→−∞f(x)=a\lim_{x \to ∞} f(x) = a 或 \lim_{x \to -∞} f(x) = ax→∞limf(x)=a或x→−∞limf(x)=a
斜渐进线 y=ax+by=ax+by=ax+b：lim⁡x→∞[f(x)−(ax+b)]=0，其中a=lim⁡x→∞f(x)x，b=lim⁡x→∞[f(x)−ax]\lim_{x \to \infin} [f(x) - (ax+b)]=0，其中 a=\lim_{x \to \infin} \frac{f(x)}{x}，b=\lim_{x \to \infin} [f(x) - ax]x→∞lim[f(x)−(ax+b)]=0，其中a=x→∞limxf(x)，b=x→∞lim[f(x)−ax]

2.切线和法线

切线：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=f^{'}(x_0)(x-x_0)y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) 或 f′(x0)f^{'}(x_0)f′(x0) 不存在时求反函数切线
法线：y−f(x0)=1f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=\frac{1}{ f^{'}(x_0) }(x-x_0)y−f(x0)=f′(x0)1(x−x0) 或 f′(x0)=0f^{'}(x_0)=0f′(x0)=0 时 x=x0x=x_0x=x0

3. 单调性与极值

单调性：函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a, b)(a,b) 内可导
∀x∈(a,b)\forall x ∈ (a, b)∀x∈(a,b)有 f′(x)≥0f^{'}(x) ≥ 0f′(x)≥0，且等号仅在有限个点处成立，则 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 单调递增。
∀x∈(a,b)\forall x ∈ (a, b)∀x∈(a,b)有 f′(x)≤0f^{'}(x) ≤ 0f′(x)≤0，且等号仅在有限个点处成立，则 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 单调递减。
极值：极值点必为驻点(f′(x0)=0f^{'}(x_0)=0f′(x0)=0)
证极值：f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 某个邻域内连续，左右邻域 f′(x0)f^{'}(x_0)f′(x0) 异号；f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 有二阶导数，且 f′(x0)=0f^{'}(x_0)=0f′(x0)=0，f′′(x0)≠0f^{''}(x_0)≠0f′′(x0)=0
证非极值：f′(x0)≠0f^{'}(x_0)≠0f′(x0)=0 或左右邻域 f′(x0)f^{'}(x_0)f′(x0) 同号

4. 凹凸区间和拐点

凹凸区间：函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a, b)(a,b) 内二阶可导
∀x∈(a,b)\forall x ∈ (a, b)∀x∈(a,b)有 f′′(x)≥0f^{''}(x) ≥ 0f′′(x)≥0，则 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 的图形是凹的。
∀x∈(a,b)\forall x ∈ (a, b)∀x∈(a,b)有 f′′(x)≤0f^{''}(x) ≤ 0f′′(x)≤0，则 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 的图形是凸的。
拐点：f′′(x0)=0f^{''}(x_0)=0f′′(x0)=0 或 f′′(x0)=0f^{''}(x_0)=0f′′(x0)=0 不存在，但 f′′(x)f^{''}(x)f′′(x) 在 x0x_0x0 两侧异号

【知识点】（三）连续与导数相关推荐

前端常见知识点三之HTML
前端常见知识点三之HTML 1.HTML5 drag api dragstart:事件主体是被拖放元素,在开始拖元素时触发 darg:事件是被拖放元素,在正在拖放时触发 dragenter:事件主体是 ...
Redis简单案例(三) 连续登陆活动的简单实现
原文:Redis简单案例(三) 连续登陆活动的简单实现连续登陆活动,或许大家都不会陌生,简单理解就是用户连续登陆了多少天之后,系统就会送一些礼品给相应的用户.最常见的莫过于游戏和商城这些.游戏就送 ...
实验三连续系统分析
实验三连续系统分析文章目录实验三连续系统分析实验目的实验内容 1. 计算并画出该系统的单位冲激响应h(t),单位阶跃响应g(t): 2. 求输入分别为u(t),sintu(t),e^(-t ...
菜鸟教程php 文件上传,php入门学习知识点三 PHP上传
if(is_uploaded_file($_FILES["Imgs"]["tmp_name"])){ $phpupfile=$_FILES["Imgs ...
Tensorflow 2.x源码详解之第三章：导数（梯度/GradientTape）
大家好,我是爱编程的喵喵.双985硕士毕业,现担任全栈工程师一职,热衷于将数据思维应用到工作与生活中.从事机器学习以及相关的前后端开发工作.曾在阿里云.科大讯飞.CCF等比赛获得多次Top名次.现 ...
【计算题】（三）连续与导数
目录题型一连续与间断题型二可导与求导题型三函数图像题型一连续与间断间断点是函数的未定义点,以左右极限是否存在可分为第一类和第二类间断点. 第一类间断点:可去间断点( lim⁡−=li ...
专升本高数——第三章一元函数导数的应用【学习笔记】
参考相关公式请进入:专升本高数--常用公式总结大全[补充扩展] https://blog.csdn.net/liu17234050/article/details/104439092 全部知识点请进入 ...
java写三次函数导数,用导数研究三次函数
<用导数研究三次函数>由会员分享,可在线阅读,更多相关<用导数研究三次函数(14页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.用导数研究三次函数1. 知识点解析1.定义:定义1.形如 ...
机器学习知识点(三十七)特征选择方法总结
在模型训练中,特征选择是非常重要.样本有限的情况,特征过多计算开销过大:通过特征选择去掉冗余和不相关特征,可提高模型性能降低计算开销.两个字:降维.当然降维后,模型性能应该是提升的.特征选择的最终目的 ...