两直线垂直，斜率乘积为-1的证明

老早以前在学习初等函数的时候，线性函数中的两直线y = m0x + b0, y = m1x +b1如果垂直，则有结论两条直线的斜率乘积为-1即m0*m1 = -1，以前也只是拿来用，没有证明过。最近在学图形学的时候，突然想起了这个点，因此记一篇笔记，证明一下。

如上图所示，有两条直线：和，它们相互垂直。这里可以得到一个隐含的条件是： (斜率相等，y轴截距不同的两条直线是平行的，垂直的话则斜率不等)。

图中两条直线的交点的坐标，我们可以通过求解方程得到，交点的y是相同的，因此我们有：

求解得到交点的x坐标为：,

将x分别代入y0和y1,得到交点的y坐标分别为：

和，这两个值是相等的

因此，图中三个关键的点坐标如下：

直线y0在y轴的交点A坐标为(0,b0)

直线y1在y轴的交点B坐标为(0,b1)

两直线交点C坐标为这两个坐标对应同一个点。

由于两条直线垂直，由勾股定理可知，斜边AB距离的平方 = 直角边AC距离的平方 + 直角边BC距离的平方。

根据两点之间的距离公式，可以得到下面的等式：

AB的距离的平方 =

AC的距离的平方 = (用C的第一种形式做距离计算，可以减掉b0)

BC的距离的平方 = （用C的第二种形式做距离计算，可以减掉b1）

根据勾股定义，可得：

整理一下，得到：

约掉(b1- b0)^2，整理得到：

展开平方差：

整理得到

, 因此

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