1 动手学概率_2

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1 动手学概率_2
1.5 多维随机变量及其联合分布、边际分布、条件分布
- 1.6 多维随机变量的数字特征：期望向量、协方差与协方差矩阵、相关系数与相关系数矩阵
- 1.7 随机变量序列的收敛状态：依概率收敛、依分布收敛
- 1.8 大数定律
- 1.9 中心极限定理
- 1.10 数学建模案例分析：投资组合分析

1.5 多维随机变量及其联合分布、边际分布、条件分布

多维随机变量：若随机变量 X1(ω),X2(ω),⋯,Xn(ω)X_{1}(\omega), X_{2}(\omega), \cdots, X_{n}(\omega)X1(ω),X2(ω),⋯,Xn(ω) 定义在同一个基本空间 Ω={ω}\Omega=\{\omega\}Ω={ω} 上，则称
X(ω)=(X1(ω),X2(ω),⋯,Xn(ω))\boldsymbol{X}(\omega)=\left(X_{1}(\omega), X_{2}(\omega), \cdots, X_{n}(\omega)\right)X(ω)=(X1(ω),X2(ω),⋯,Xn(ω))
是一个多维随机变量，也称为n维随机向量。
多维随机变量联合分布函数：设 X=(X1,X2,⋯,Xn)X=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)X=(X1,X2,⋯,Xn) 是 nnn 维随机变量，对任意 nnn 个实数 x1,x2,⋯,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}x1,x2,⋯,xn 所组成的 nnn 个事件 $X_{1} \leqslant x_{1},X_{2} \leqslant x_{2} , \cdots, X_{n} \leqslant x_{n} $ 同时发生的概率
F(x1,x2,⋯,xn)=P(X1⩽x1,X2⩽x2,⋯,Xn⩽xn)F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=P\left(X_{1} \leqslant x_{1}, X_{2} \leqslant x_{2}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n}\right)F(x1,x2,⋯,xn)=P(X1⩽x1,X2⩽x2,⋯,Xn⩽xn)
称为 nnn 维随机变量 X\boldsymbol{X}X 的联合分布函数。
多维随机变量联合概率密度函数：设nnn维随机变量 X=(X1,X2,⋯,Xn)X=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)X=(X1,X2,⋯,Xn) 的分布函数为 F(x1,x2,⋯,xn)F(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})F(x1,x2,⋯,xn) 。假如各分量 x1,x2,⋯,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}x1,x2,⋯,xn 都是一维连续随机变量，并存在定义在空间上的非负函数 p(x1,x2,⋯,xn)p(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})p(x1,x2,⋯,xn)，使得
F(x,y)=∫−∞x1∫−∞x2⋯∫−∞xnp(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxnF(x, y)=\int_{-\infty}^{x_{1}} \int_{-\infty}^{x_{2}}\cdots \int_{-\infty}^{x_{n}} p(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) d x_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}F(x,y)=∫−∞x1∫−∞x2⋯∫−∞xnp(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxn
则称 X=(X1,X2,⋯,Xn)X=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)X=(X1,X2,⋯,Xn) 为nnn维连续随机变量，p(x1,x2,⋯,xn)p(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})p(x1,x2,⋯,xn) 称为 X=(X1,X2,⋯,Xn)X=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)X=(X1,X2,⋯,Xn) 的联合概率密度函数，或简称联合密度。
特例：二维随机变量
二维随机变量的分布函数：设(X,Y)(X, Y)(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,yx, yx,y，二元函数：
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x, y)=P\{X\le x, Y \le y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的分布函数，或称为随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的联合分布函数。

分布函数的性质：

F(x,y)F(x, y)F(x,y)是x,yx, yx,y的不减函数

0≤F(x,y)≤10 \le F(x, y) \le 10≤F(x,y)≤1，且对于任意固定的y,F(−∞,y)=0对于任意固定的x,F(x,−∞)=0F(−∞,−∞)=0,F(∞,∞)=1\begin{aligned}&对于任意固定的y, F(-\infty, y) = 0\\&对于任意固定的x, F(x, -\infty)=0\\&F(-\infty, -\infty)=0, F(\infty, \infty)=1\end{aligned}对于任意固定的y,F(−∞,y)=0对于任意固定的x,F(x,−∞)=0F(−∞,−∞)=0,F(∞,∞)=1

F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)F(x+0, y)=F(x, y), F(x, y+0)=F(x, y)F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)F(x, y)F(x,y)关于x,yx, yx,y分别右连续

对于任意的(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), x_{1} < x_{2}, y_{1} < y_{2}(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2，有不等式F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)≥0F(x_{2},y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) + F(x_{1}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) \ge 0F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)≥0恒成立

二维随机变量的概率密度函数：对于二维随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的分布函数F(x,y)F(x, y)F(x,y)，如果存在非负可积函数f(x,y)f(x, y)f(x,y)，使对于任意x,yx, yx,y有
F(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudvF(x, y) = \int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u, v)dudvF(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv
则称(X,Y)(X, Y)(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)f(x, y)f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和YX和YX和Y的联合概率密度。

联合概率密度f(x,y)f(x, y)f(x,y)的性质：

f(x,y)ge0f(x, y) \ ge 0f(x,y) ge0

∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)dxdy = 1∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=1

若f(x,y)f(x, y)f(x,y)在点(x,y)(x, y)(x,y)连续，则有∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)\frac{\partial^{2} F(x, y)}{\partial x\partial y} = f(x, y)∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)

设GGG是xOyxOyxOy平面上的区域，点(X,Y)(X, Y)(X,Y)落在GGG内的概率为：P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdyP\{(X, Y) \in G\} = \iint\limits_{G}f(x, y)dxdyP{(X,Y)∈G}=G∬f(x,y)dxdy

python代码（绘制二维概率密度函数图像）代码参考

import numpy as np
from scipy import stats
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import matplotlib.pyplot as pltx, y = np.mgrid[-5:5:0.01, -5:5:0.01]
pos = np.dstack((x, y))
rv = stats.multivariate_normal([0.5, -0.2], [[2.0, 0.3], [0.3, 0.5]])
z = rv.pdf(pos)
# 曲面图
plt.figure('Surface', facecolor='lightgray', figsize=(12, 8))
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.set_xlabel('x', fontsize=14)
ax.set_ylabel('y', fontsize=14)
ax.set_zlabel('f(x, y)', fontsize = 14)
ax.plot_surface(x, y, z, rstride=50, cstride=50, cmap='jet')
plt.show()
# 等高线图
fig2 = plt.figure(figsize=(8,6))
ax2 = fig2.add_subplot(111)
ax2.contourf(x, y, rv.pdf(pos), rstride=50, cstride=50, cmap='jet')
plt.show()

C:\Users\13541\AppData\Local\Temp\ipykernel_11684\2054532681.py:21: UserWarning: The following kwargs were not used by contour: 'rstride', 'cstride'ax2.contourf(x, y, rv.pdf(pos), rstride=50, cstride=50, cmap='jet')

边际（边缘）分布：
二维随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)F(x, y)F(x,y)，X和YX和YX和Y都是随机变量，他们也有自己的分布函数，分别记为FX(x),FY(y)F_{X}(x), F_{Y}(y)FX(x),FY(y)，依次为随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)关于XXX和关于YYY的边缘分布函数 FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)F_{X}(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x, Y < \infty\}=F(x, \infty)FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)即FX(x)=F(x,∞)F_{X}(x)=F(x, \infty)FX(x)=F(x,∞)，同理FY(y)=F(∞,y)F_{Y}(y)=F(\infty, y)FY(y)=F(∞,y)
对于连续型随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)，设它的概率密度函数为f(x,y)f(x, y)f(x,y)，由于 FX(x)=F(x,∞)=∫−∞x[∫−∞∞f(x,y)dy]dxF_{X}(x)=F(x, \infty)=\int_{-\infty}^{x}[\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)dy]dxFX(x)=F(x,∞)=∫−∞x[∫−∞∞f(x,y)dy]dx则随机变量XXX的概率密度函数为：fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dyf_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)dyfX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy
同理，随机变量YYY的概率密度函数为：fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dxf_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)dxfY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx

python代码（已知联合分布求边缘分布）

from sympy import *x, y = symbols('x, y')
fxy = 1
pxy = Piecewise((fxy, And(x > 0, x < 1, y > -x, y < x)), (0, True))
fXx = integrate(pxy, (y, -oo, oo))
pprint("关于随机变量X的边缘密度函数为：{}".format(fXx))
fYy = integrate(pxy, (x, -oo, oo))
pprint("关于随机变量Y的边缘密度函数为：{}".format(fYy))

关于随机变量X的边缘密度函数为：Piecewise((x + Max(-x, x), (x > 0) & (x < 1)), (0, True))
关于随机变量Y的边缘密度函数为：-Max(0, -y, y) + Max(1, -y, y)

边际（边缘）分布列：在二维离散随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的联合分布列 {P(X=xi,Y=yj)}\left\{P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)\right\}{P(X=xi,Y=yj)} 中，对 jjj 求和所得的分布列∑j=1∞P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi),i=1,2,⋯\sum_{j=1}^{\infty} P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=P\left(X=x_{i}\right), \quad i=1,2, \cdotsj=1∑∞P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi),i=1,2,⋯
被称为 XXX 的边际分布列。类似地，对 iii 求和所得的分布列 ∑i=1∞P(X=xi,Y=yj)=P(Y=yj),j=1,2,⋯\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=P\left(Y=y_{j}\right), \quad j=1,2, \cdotsi=1∑∞P(X=xi,Y=yj)=P(Y=yj),j=1,2,⋯
被称为 YYY 的边际分布列。

条件分布：由条件概率引出条件概率分布。
设(X,Y)(X, Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯.P\{X=x_{i}, Y=y_{j}\}=p_{ij}, i,j=1,2,\cdots .P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯. (X,Y)(X, Y)(X,Y)关于XXX和关于YYY的边缘分布分别为
P{X=xi}=pi=∑j=1∞pij,i=1,2,⋯.P{Y=yj}=pj=∑i=1∞pij,j=1,2,⋯.\begin{aligned}& P\{X=x_{i}\}=p_{i}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}, i=1,2,\cdots .\\&P\{Y=y_{j}\}=p_{j}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}, j=1,2,\cdots . \end{aligned}P{X=xi}=pi=j=1∑∞pij,i=1,2,⋯.P{Y=yj}=pj=i=1∑∞pij,j=1,2,⋯.
设P⋅j>0P_{\cdot j} > 0P⋅j>0，考虑在事件{Y=yj}\{Y=y_{j}\}{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}\{X=x_{i}\}{X=xi}发生的概率，由条件概率公式得P{X=xi∣Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp⋅j,i=1,2,⋯.P\{X=x_{i}|Y=y_{j}\} = \frac{P\{X=x_{i}, Y=y_{j}\}}{P\{Y=y_{j}\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}, i=1,2,\cdots .P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}=p⋅jpij,i=1,2,⋯.上式称为在Y=yjY=y_{j}Y=yj条件下随机变量XXX得条件分布率，同理P{Y=yj∣X=xi}=P{Y=yj,X=xi}P{X=xi}=pijpi⋅,i=1,2,⋯.P\{Y=y_{j}|X=x_{i}\} = \frac{P\{Y=y_{j}, X=x_{i}\}}{P\{X=x_{i}\}} = \frac{p_{ij}}{p_{i \cdot}}, i=1,2,\cdots .P{Y=yj∣X=xi}=P{X=xi}P{Y=yj,X=xi}=pi⋅pij,i=1,2,⋯.称为在X=xiX=x_{i}X=xi条件下随机变量YYY得条件分布率

条件分布得性质：

P{X=xi∣Y=yj}≥0P\{X=x_{i}|Y=y_{j}\} \ge 0P{X=xi∣Y=yj}≥0

∑i=1∞P{X=xi∣Y=yj}=∑i=1∞pijp⋅j=1p⋅j∑i=1∞pij=p⋅jp⋅j=1\sum_{i=1}^{\infty}P\{X=x_{i}|Y=y_{j}\} = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} =\frac{1} {p_{\cdot j}}\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij} = \frac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}} = 1i=1∑∞P{X=xi∣Y=yj}=i=1∑∞p⋅jpij=p⋅j1i=1∑∞pij=p⋅jp⋅j=1

连续型随机变量条件分布：
设二维随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)得概率密度为f(x,y)f(x, y)f(x,y)，(X,Y)(X, Y)(X,Y)关于YYY得边缘概率密度为fY(y)f_{Y}(y)fY(y). 若对于固定得y,fY(y)>0y, f_{Y}(y) > 0y,fY(y)>0，则称f(x,y)fY(y)\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}fY(y)f(x,y)为在Y=yY = yY=y条件下XXX的条件概率密度函数，记为
fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
称∫−∞xfX∣Y(x∣y)dx=∫−∞xf(x,y)fY(y)dx\int_{-\infty}^{x}f_{X|Y}(x|y)dx = \int_{-\infty}^{x}\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}dx∫−∞xfX∣Y(x∣y)dx=∫−∞xfY(y)f(x,y)dx为在Y=yY = yY=y条件下XXX的条件分布函数，记为P{X≤x∣Y=y}或FX∣Y(x∣y)P\{X\le x|Y =y\}或F_{X|Y}(x|y)P{X≤x∣Y=y}或FX∣Y(x∣y)，即
FX∣Y(x∣y)=P{X≤x∣Y=y}=∫−∞xf(x,y)fY(y)dx.F_{X|Y}(x|y)=P\{X\le x|Y =y\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}dx.FX∣Y(x∣y)=P{X≤x∣Y=y}=∫−∞xfY(y)f(x,y)dx.

连续随机变量的贝叶斯公式和全概率公式：

全概率公式pY(y)=∫−∞∞pX(x)p(y∣x)dx,pχ(x)=∫−∞∞pY(y)p(x∣y)dy.\begin{aligned}&p_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} p_{X}(x) p(y \mid x) \mathrm{d} x, \\&p_{\chi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p_{Y}(y) p(x \mid y) \mathrm{d} y .\end{aligned}pY(y)=∫−∞∞pX(x)p(y∣x)dx,pχ(x)=∫−∞∞pY(y)p(x∣y)dy.

贝叶斯公式p(x∣y)=pX(x)p(y∣x)∫−∞∞pX(x)p(y∣x)dx,p(y∣x)=pY(y)p(x∣y)∫−∞∞pY(y)p(x∣y)dy.\begin{aligned}&p(x \mid y)=\frac{p_{X}(x) p(y \mid x)}{\int_{-\infty}^{\infty} p_{X}(x) p(y \mid x) \mathrm{d} x},\\&p(y \mid x)=\frac{p_{Y}(y) p(x \mid y)}{\int_{-\infty}^{\infty} p_{Y}(y) p(x \mid y) \mathrm{d} y} .\end{aligned}p(x∣y)=∫−∞∞pX(x)p(y∣x)dxpX(x)p(y∣x),p(y∣x)=∫−∞∞pY(y)p(x∣y)dypY(y)p(x∣y).

python代码(求解边际分布列)：设在一段时间内进人某一商店的顾客人数 XXX 服从泊松分布 P(λ)P(\lambda)P(λ)，每个顾客购买某种物品的概率为 ppp, 并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数 YYY 的分布列。

from sympy import *
from sympy.abc import lamda, k, m, x, y, p    # 代替symbols("lamda, k, m, x, y")
Pxk = (lamda ** k * exp(- lamda)) / factorial(k)
print("进入商店人数(k)的概率分布P(X=k) = {}".format(Pxk))
Pyx = (factorial(k) / (factorial(m) * factorial(k-m))) * (p ** m) * ((1 - p) ** (k - m))
print("在进入商店人数（k）确定的条件下，客户买某种商品人数的条件分布P(Y=m|X =k)={}".format(Pyx))
f = Pxk * Pyx
Py = summation(f, (k, m, oo))
print("进入商店的顾客购买这种商品人数Y的分布列P(Y=m)={}".format(Py))
Py

进入商店人数(k)的概率分布P(X=k) = lamda**k*exp(-lamda)/factorial(k)
在进入商店人数（k）确定的条件下，客户买某种商品人数的条件分布P(Y=m|X =k)=p**m*(1 - p)**(k - m)*factorial(k)/(factorial(m)*factorial(k - m))
进入商店的顾客购买这种商品人数Y的分布列P(Y=m)=lamda**m*p**m*exp(-lamda)*exp(-lamda*(p - 1))/factorial(m)

λmpme−λe−λ(p−1)m!\displaystyle \frac{\lambda^{m} p^{m} e^{- \lambda} e^{- \lambda \left(p - 1\right)}}{m!}m!λmpme−λe−λ(p−1)

1.6 多维随机变量的数字特征：期望向量、协方差与协方差矩阵、相关系数与相关系数矩阵

期望向量
记 nnn 维随机向量为 X=(X1,X2,⋯,Xn)T\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)^{T}X=(X1,X2,⋯,Xn)T, 若其每个分量的数学期望都存在，则称
E(X)=(E(X1),E(X2),⋯,E(Xn))TE(\boldsymbol{X})=\left(E\left(X_{1}\right), E\left(X_{2}\right), \cdots, E\left(X_{n}\right)\right)^{T}E(X)=(E(X1),E(X2),⋯,E(Xn))T
为 nnn 维随机向量 X\boldsymbol{X}X 的数学期望向量（一般为列向量），简称为 X\boldsymbol{X}X 的数学期望。
协方差与协方差矩阵
协方差：Cov⁡(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]\operatorname{Cov}(X, Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))] ，衡量的是两个随机变量之间的相互关联的程度

当 Cov⁡(X,Y)>0\operatorname{Cov}(X, Y)>0Cov(X,Y)>0 时，称 XXX 与 YYY 正相关，这时两个偏差 (X−E(X))(X-E(X))(X−E(X)) 与 (Y−E(Y))(Y-E(Y))(Y−E(Y)) 有同时增加或同时减少的倾向。由于 E(X)E(X)E(X) 与 E(Y)E(Y)E(Y) 都是常数，故等价于 XXX 与 YYY 有同时增加或同时减少的倾向。
当 Cov⁡(X,Y)<0\operatorname{Cov}(X, Y)<0Cov(X,Y)<0 时，称 XXX 与 YYY 负相关, 这时有 XXX 增加而 YYY 减少的倾向，或有 YYY 增加而 XXX 减少的倾向。
当 Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X, Y)=0Cov(X,Y)=0 时，称 XXX 与 YYY 不相关。这时可能由两类情况导致:一类是 XXX 与 YYY 的取值毫无关联，另一类是 XXX 与 YYY 间存有某种非线性关系。

协方差Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X, Y)Cov(X,Y)的性质：

Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)

若随机变量 XXX 与 YYY 相互独立，则 Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X, Y)=0Cov(X,Y)=0，反之不成立。

（最重要）对任意二维随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y)，有Var⁡(X±Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)±2Cov⁡(X,Y)\operatorname{Var}(X \pm Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)±2Cov(X,Y) 该性质表明: 在 XXX 与 YYY 相关的场合,和的方差不等于方差的和。 XXX 与 YYY 的正相关会增加和的方差,负相关会减少和的方差，而在 XXX 与 YYY 不相关的场合，和的方差等于方差的和，即：若 XXX 与 YYY 不相关，则 Var⁡(X±Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X \pm Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)。

协方差 Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X, Y)Cov(X,Y) 的计算与 X,YX, YX,Y 的次序无关，即 Cov⁡(X,Y)=Cov⁡(Y,X)\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

任意随机变量 XXX 与常数 aaa 的协方差为零，即 Cov⁡(X,a)=0\operatorname{Cov}(X, a)=0Cov(X,a)=0

对任意常数 a,ba, ba,b，有 Cov⁡(aX,bY)=abCov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(a X, b Y)=a b \operatorname{Cov}(X, Y) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

设 X,Y,ZX, Y, ZX,Y,Z 是任意三个随机变量,则 Cov⁡(X+Y,Z)=Cov⁡(X,Z)+Cov⁡(Y,Z)\operatorname{Cov}(X+Y, Z)=\operatorname{Cov}(X, Z)+\operatorname{Cov}(Y, Z)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

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GitModel-动手学概率论_02（python）

1 动手学概率_2

目录

1.5 多维随机变量及其联合分布、边际分布、条件分布

1.6 多维随机变量的数字特征：期望向量、协方差与协方差矩阵、相关系数与相关系数矩阵

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