2 线性表示

2.1 线性表示的概念

2.1.1线性表示

设 $\beta$ 是线性空间V中的向量，若存在V中一组向量{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }，及一组数 $x_{1},x_{2},...x_{n}\in F$ ，使得

$\beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}$

则称向量 $\beta$ 能被向量组{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }线性表示，或者线性表出。

2.1.2 线性相关

设{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }是线性空间V中的一组向量，若存在一组不全为0的数： $x_{1},x_{2},...x_{n}$ ，使得

$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=O$

则称向量组{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }线性相关。

2.1.3 线性无关

设{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }是线性空间V中的一组向量，若存在一组不全为0的数： $x_{1},x_{2},...x_{n}$ ，使得

$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}\neq O$

则称向量组{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }线性无关。

2.1.4 线性无关的充要条件

$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=O \Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=...x_{n}=0$

2.1.5 线性相关的充要条件

{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }中某个向量能够被其余的向量线性表示；

2.1.6 其余性质

单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关；

{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }线性无关，部分组成的向量组也线性无关；

若向量组中部分向量组成的向量组线性相关，则原向量组线性相关。

2.2 基与维数

设{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }是线性空间V的一组线性无关向量组，若对V中任意向量 $\beta$ ，存在一组数{ $x_{1},x_{2},...x_{n}$ }，使得

$\beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}$

则称：向量组{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }为V的基，V为n维线性空间，记为 $V^{n}$ ,线性空间的维数记为dim(V)=n。

2.3 向量的坐标

设向量组{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }为线性空间 $V^{n}$ 的基，则对 $V^{n}$ 中任意元素 $\beta$ ，有唯一的表示：

$\beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}$

记 $x=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]^{T}$

称 $x$ 为向量 $\beta$ 在基 $a_{1},a_{2},...a_{n}$ 下的坐标。

结论1:

设 $\beta \in V^{n}$ 在基{ $a_{1},a_{2},...a_{n}$ }下的坐标为 $x=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]^{T}$ ，

记 $B$ ={ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ }，则有 $\beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=Bx$ （按矩阵和向量乘法运算法则）

结论2:

存在 $V^{n}(F)\rightarrow F^{n}$ 的一一映射

$\alpha \in V^{n}(F) \leftrightarrow x=\left[ \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right] \in F^{n}$

若 $\alpha=\mathcal{B} x, \quad \beta=\mathcal{B} y$ ，则有

$\alpha+\beta \leftrightarrow x+y \quad k \alpha \leftrightarrow k x$

称 $V^{n}(F)$ 与 $F^{n}$ （线性）同构。

结论3:

如果 $\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}$ 对应的坐标 $x_{1},x_{2},...x_{n}$ ，那么 $\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}$ 线性无关的充要条件就是它们对应的坐标 $x_{1},x_{2},...x_{n}$ 线性无关。

2.4 过渡矩阵

设 $\mathcal{B}_{\alpha}=\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right\}, \mathcal{B}_{\beta}=\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\}$ 是 $V^{n}$ 的两个基

对基 $\mathcal{B}_{\beta }$ 中每个向量 $\beta _{i}$ ，可以求出其在基 $\mathcal{B}_{\alpha }$ 下的坐标，设为

$P_{i}=\left[ \begin{array}{llll}{p_{i 1}} & {p_{i 2}} & {\cdots} & {p_{i n}}\end{array}\right]^{\mathrm{T}} \in F^{n}$

写成向量形式：

$\beta_{i}=\mathcal{B}_{\alpha} P_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n$

记 $P=\left[ \begin{array}{llll}{P_{1}} & {P_{2}} & {\cdots} & {P_{n}}\end{array}\right]$

由此得到

$\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\}=\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right\} \left[ \begin{array}{cccc}{p_{11}} & {p_{12}} & {\cdots} & {p_{1 n}} \\ {p_{21}} & {p_{22}} & {\cdots} & {p_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {p_{n 1}} & {p_{n 2}} & {\cdots} & {p_{n n}}\end{array}\right]$

写成矩阵形式：

$\mathcal{B}_{\beta}=\mathcal{B}_{\alpha} P$

陈矩阵 $P$ 为基 $\mathcal{B}_{\alpha }$ 到基 $\mathcal{B}_{\beta}$ 的过渡矩阵（变换矩阵）。

过渡矩阵的性质：

过渡矩阵 $P$ 是满秩矩阵；
若 $P$ 是基 $\mathcal{B}_{\alpha }$ 到基 $\mathcal{B}_{\beta}$ 的过渡矩阵，则 $P^{-1}$ 是基 $\mathcal{B}_{\beta}$ 到基 $\mathcal{B}_{\alpha }$ 的过渡矩阵；
若向量 $\alpha$ 在基 $\mathcal{B}_{\alpha }$ 下的坐标为 $x$ ，即 $\alpha =\mathcal{B}_{\alpha }x$ ，则向量 $\alpha$ 在基 $\mathcal{B}_{\beta}$ 下的坐标是： $y=P^{-1}x$ .

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矩阵论（2）——线性表示及基与坐标

2 线性表示

2.1 线性表示的概念

2.1.1线性表示

2.1.2 线性相关

2.1.3 线性无关

2.1.4 线性无关的充要条件

2.1.5 线性相关的充要条件

2.1.6 其余性质

2.2 基与维数

2.3 向量的坐标

结论1:

结论2:

结论3:

2.4 过渡矩阵

过渡矩阵的性质：

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