半导体器件物理【7】固体量子 —

前言

概念性的问题，什么是麦克斯韦-玻尔兹曼分布？麦克斯韦-玻尔兹曼分布与玻色-爱因斯坦分布区别是什么？什么是费米分布？

这一篇只是简单罗列几个概念，反正这些概念前前后后会反复被提到!

统计力学

一定温度下，半导体内大量电子做无规律热运动。单从一个电子来看，它所具有的能量时大时小，经常变化。

从大量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律，即电子在不同能量的量子态上统计分布是几率是一定的

粒子在有效能态 中分布有三个法则，麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数，玻色-爱因斯坦分布函数，费米-狄拉克分布函数

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麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数

认为分布中的粒子可以被一一区分，对每个能态所能容纳的粒子数没有限制

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玻色-爱因斯坦分布函数

认为分布中的粒子不可区分，单个能态容纳的粒子数没有限制

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费米-狄拉克分布函数

认为分布中的粒子不可区分，每个量子态只允许粒子

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费米分布函数

能量E的一个量子态被一个电子占据的几率为

fF(E)=11+exp(E−EfkT)f_F(E)=\frac{1}{1 + exp( \frac{E - E_f}{kT} )}fF(E)=1+exp(kTE−Ef)1

能量E的一个量子态不被电子占据的概率为

1−fF(E)=11+exp(Ef−EkT)1 - f_F(E)=\frac{1}{1 + exp( \frac{E_f - E}{kT} )}1−fF(E)=1+exp(kTEf−E)1

能量比EFE_FEF高5kT的量子态被电子占据的几率为0.7%0.7\%0.7%
能量被EFE_FEF低5kT的量子态被电子占据的几率为99.3%99.3\%99.3%

图是不同温度下费米概率密度与能量的关系

如果温度不是高，那么EF+5kTE_F + 5kTEF+5kT的范围就很小，这样费米能级EFE_FEF就称为量子态是否被电子占据的分界线！！！

能量高于费米能级的量子态基本是空的

能量低于费米能级的量子态基本是满的

能量等于费米能级的量子态被电子占据的概率是50%50\%50%

费米能级标志了电子填充能级的水平
半导体中常见的费米能级EFE_FEF在禁带中。满足Ec−EF>>kTE_c - E_F >> kTEc−EF>>kT或EF−Ev>>kTE_F - E_v >> kTEF−Ev>>kT

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玻尔兹曼分布函数

当E−EF>>kTE-E_F >> kTE−EF>>kT 费米分布函数中的1可以忽略，即此时粒子稀少，费米分布和玻尔兹曼分布，两者的统计结果一致。粒子稀少到不受泡利不相容原理限制。

电子的玻尔兹曼分布函数为

fB(E)≈exp(−E−EfkT)=Aexp(−EkT)f_B(E) \thickapprox exp(-\frac{E-E_f}{kT})=Aexp( - \frac{E}{kT})fB(E)≈exp(−kTE−Ef)=Aexp(−kTE)

空穴的玻尔兹曼分布为

1−fB(E)≈Bexp(EkT)1-f_B(E) \thickapprox Bexp(\frac{E}{kT})1−fB(E)≈Bexp(kTE)

对导带或价带中所有量子态来说，电子或空穴都能用玻尔兹曼统计分布描述
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近——起作用的载流子都在能带极值附近